中学から数学だいすき!

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確率−さいころと式

確率を求める3 目次 >

 さいころを投げ、数式が成り立つ確率を求めてみましょう。

例題
 大小2つのさいころを同時に1回投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、2a−b が3の倍数となる確率を求めてください。

 1≦a≦6 から、  2≦2a≦12  ・・・
 1≦b≦6 から、−6≦−b≦−1  ・・・
 椨◆А 檻粥紕横瓠檻癲紕隠院,鯔たす3の倍数は、
 2a−b=−3,3,6,9  
 この式を満たす (a,b) を求める。
2a−b=−3: (1,5)
2a−b=3 : (2,1) (3,3) (4,5)
2a−b=6 : (4,2) (5,4) (6,6)
2a−b=9 : (5,1) (6,3)
 対象の場合の数 n は、n=1+3+3+2=9
 全ての場合の数Nは、N=6×6=36
 求める確率 p は、
 p=n/N=9/36=1/4 ・・・(答)

練習
1.  大小2つのさいころを同時に1回投げます。大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、2つの等式 a−2b+5=0 と、a+b−7=0 の少なくとも一方が成り立つ確率を求めてください。
   (都立校)
2.  大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数を a 、小さいさいころの出た目の数を b とするとき、
(1) a=b となる確率を求めてください。
(2) 2a+b の値が素数になる確率を求めてください。
(三重県高)
3.  1つのさいころを2回投げ、1回目に出た目の数を a 、2回目に出た目の数を b とするとき、2b/a の値が整数となる確率を求めてください。
(山口県高)
4.  1つのさいころを2回投げます。1回目に出た目の数を十の位、2回目に出た目の数を一の位とする2けたの整数をつくるとき、その整数が7の倍数となる確率を求めてください。
(鹿児島県高)
5.  3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が6となる確率を求めてください。
(市川高)
答 え











答 え
1.
 a−2b+5=0  ・・・
 a+b−7=0   ・・・
 少なくとも一方が成り立つ場合は、
 ,、△、,鉢 が成り立つ場合である。
 А。瓠瓧横癲檻機,ら、次のように3通り
 b=3 a=1
 b=4 a=3
 b=5 a=5
◆А。瓠棕癲瓧掘,ら、次のように6通り
 a=1 b=6
 a=2 b=5
 a=3 b=4
 a=4 b=3
 a=5 b=2
 a=6 b=1
,鉢◆А]⇔方程式を解く。
 ◆櫚,ら、3b−12=0 b=4 
 △ら、a=3
 対象の場合の数 n は、
 a=3 b=4 が3つ重複するので、1つと数えると、
 n=3+5=8
 全ての場合の数Nは、N=6×6=36
 確率 p=8/36=2/9 ・・・(答)
2.
(1) a=b の場合は、
 (a,b)=(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)
 n=6
 N=6×6=36
 p=6/36=1/6 ・・・(答)
(2) 2a+b の範囲を求める。
 1≦a≦6 から、
 2≦2a≦12 ・・・
 1≦b≦6   ・・・◆ ´ 椨△ら、
 3≦2a+b≦18 を満たす素数は、
 2a+b=3,5,7,11,13,17 ・・・
 を満たす(a,b)を求める。
2a+b=3:  (1,1)
2a+b=5:  (1,3) (2,1)
2a+b=7:  (1,5) (2,3) (3,1)
2a+b=11: (3,5) (4,3) (5,1)
2a+b=13: (4,5) (5,3) (6,1)
2a+b=17: (6,5)
 よって、
 n=1+2+3+3+3+1=13
 N=6×6=36
 p=13/36 ・・・(答)
3.
 2b/a が整数になる場合は、
 b=1 a=1,2
 b=2 a=1,2,4
 b=3 a=1,2,3,6
 b=4 a=1,2,4
 b=5 a=1,2,5
 b=6 a=1,2,3,4,6
 よって、
 n=2+3+4+3+3+5=20
 N=6×6=36
 p=20/36=5/9 ・・・(答)
4.
 1回目の数を a 、2回目の数を b とする。
 2けたの整数は、10a+b
 10≦10a≦60  1≦b≦6 から、
 11≦10a+b≦66 これを満たす7の倍数は、
 10a+b=14,21,28,35,42,49,56,63
 出た数を、(a,b) で表す。
10a+b=14: (1,4)
10a+b=21: (2,1)
10a+b=28:  なし
10a+b=35: (3,5)
10a+b=42: (4,2)
10a+b=49:  なし
10a+b=56: (5,6)
10a+b=63: (6,3)
 よって、n=6
 N=6×6=36
 p=n/N=6/36=1/6 ・・・(答)
5.
 各さいころ目を a ,b , c とする。
 a+b+c=6 となる組合せ{a,b,c}は、
 {1,1,4} 並べ方は、3通り 4の位置が3通り
 {1,2,3} 6通り  が3通りで が2通りから、3×2
 {2,2,2} 1通り
 n=3+6+1=10
 N=6×6×6
 p=n/N=10/(6×6×6)=5/108 ・・・(答)


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