中学から数学だいすき!

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確率−玉の色

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 玉を取り出す確率を求めてみましょう。

 取り出した玉をもどすか、もどさないかによって、場合の数が異なります。
例: 4個の玉が入った袋の中から、1個の玉を取り出します。
(1) 玉をもどし、もう1個を取り出し並べる場合
  全ての場合の数Nは、N=4×
(2) 玉をもどさず、もう1個を取り出し並べる場合
   N=4×
  この計算は、同時に2個を取り出す場合と同じです。

例題
  赤玉3個と白玉3個が入っている袋があります。この袋の中から、同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めてください。
(大分県高)
 場合の数を求めるため、並べた6個の玉に番号をつけ区別します。
 ´↓きキ
 赤玉と白玉が1個ずつの並べ方は、
 { きいイΑ から6通り ← ´ぁきき き´ァきキ ぁ
 {◆きいイΑ から6通り
 {,いイΑ から6通り
 対象の場合の数 n は、n=6+6+6=18
 全ての場合の数Nは、N=6×5=30 ← 一方6通り、他方5通り
 求める確率 p は、p=n/N=18/30=3/5 ・・・(答)

練習
1.  白玉2個、黒玉3個が入っている袋があります。この袋から玉を1個取り出して色を調べ、それを袋の中にもどすことを2回くり返すとき、1回目、2回目ともに同じ色の玉が出る確率を求めてください。 
(佐賀県高)
2.  箱の中に赤玉2個、青玉2個、白玉1個の合計5個の玉が入っています。
 この箱の中から、A、Bの2人がこの順に1個ずつ玉を取り出します。ただし、取り出した玉は箱の中にもどさないものとします。
(1) Aが青玉を取り出す確率を求めてください。
(2) A、Bの2人のうち、少なくとも1人が青玉を取り出す確率を求めてください。
(福島県高)
3.  Aの箱には、2、3、4、5、6の数が1つずつ書かれた5個の玉が入っています。Bの箱には、4、5、6、7、8の数が1つずつ書かれた5個の玉が入っています。
 A、Bの箱から、それぞれ1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した2個の玉に書かれた数の積が2で割り切れない数である確率を求めてください。
(茨木県高)
4.  箱の中に、1、2、3、4と書かれた4個の玉が入っています。この箱の中から1個を取り出し、玉に書かれている数字を調べ、それを箱にもどしてからまた、1個を取り出し、玉に書かれている数字を調べます。
 はじめに取り出した玉に書かれている数字を十の位の数、次に取り出した玉に書かれている数字を一の位の数として2けたの整数をつくるとき、24以上の整数になる確率を求めてください。
(青森県高)
5.
 2つの袋A、Bがあり、袋Aの中には、1、3、5、7の数字が1つずつ書かれた4個の玉が、袋Bの中には、2、4、6,8の数字が1つずつ書かれた4個の玉が入っています。
 この2つの袋の中からそれぞれ玉を1個ずつ取り出すとき、袋Aから取り出した玉に書かれた数を a 、袋Bから取り出した玉に書かれた数を b とします。このとき、2a+b の値が3の倍数になる確率を求めてください。
(愛媛県高)
答 え











答 え
1.
 場合の数を求めるため、並べた5個の玉に番号をつけ区別します。
 白´ 黒き
 同じ色の並べ方は、
 { き  {◆き◆ {,} {ぁきぁ {ァきァ僉,ら5通り
 { き◆ {,ぁ {ぁきァ {ァき} から8通り
 対象の場合の数 n は、n=5+8=13
 全ての場合の数Nは、N=5×5=25 ← もどすので
 求める確率 p は、p=n/N=13/25 ・・・(答)
(別解)
 異なる色の並べ方は、12通り
  { きかいァ僉,ら6通り
  {◆きかいァ僉,ら6通り
 全ての場合の数は、25通り
 求める確率は、1−12/25=13/25 ・・・(答)
2.
(1) 5個の玉に番号をつけて並べる。
  ´
 Aが青玉を取り出す場合は、
  かい裡可未
 Aは、5個から1個を取り出すので、
  求める確率は、2/5 ・・・(答)
(2) 2人が、赤玉か白玉を取り出すときの並べ方は、
  { き◆僉 亅 きァ僉 亅◆きァ僉,ら6通り
 全ての場合の数は、5×4=20 通り
 求める確率は、1−6/20=7/10 ・・・(答)
3.
 2数の積が2で割り切れない数(=奇数)となるのは、
 {奇数,奇数}の場合なので、並べ方は、
  (3,5) (3,7) 2通り
  (5,5) (5,7) 2通り
 対象の場合の数は、2+2=4
 全ての場合の数は、5×5=25
 求める確率は、4/25 ・・・(答)
4.
 (十の位の数,一の位の数)が24より小さくなる並べ方は、
 (2,3) (2,2) (2,1)
 (1,4) (1,3) (1,2) (1,1) の7通り
 全ての場合の数は、4×4=16
 求める確率は、1−7/16=9/16 ・・・(答)
5.
 2a+b の範囲を求める。
  1≦a≦7 から、2≦2a≦14
  2≦b≦8
  よって、4≦2a+b≦22
 2a+b が3の倍数になる場合は、
  2a+b=6,9,12,15,18,21
 並べ方を (a,b) で表す。 
  a=1,3,5,7  b=2,4,6,8
 b=6−2a:  (1,4)
 b=9−2a:   なし
 b=12−2a: (3,6) (5,2)
 b=15−2a:  なし
 b=18−2a: (5,8) (7,4)
 b=21−2a:  なし
 対象の場合の数は、5通り
 全ての場合の数は、4×4=16 通り
 求める確率は、5/16 ・・・(答)

(参考)
練習1の(別解)、練習2の(2)、練習4の確率は、「対象でない場合」を数えて確率を求めています。
 求める確率
=1−対象でない場合の数/全ての場合の数

練習1(別解) 
 同じ玉の色 ⇔ 異なる玉の色
練習2(2)  
 少なくとも1人が青玉 ⇔ 2人が赤玉か白玉
練習4
 24以上の整数 ⇔ 24より小さい整数


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