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確率−カードの組と並び

確率を求める3 目次 >

 カードを取り出す確率を求めてみましょう。確率を、組合せから求める方法と、並べ方から求める方法があります。例題2は、どちらの方法でも確率を求めることができます。

例題1
 箱の中に、1,2,3,4,5 と書かれたカードが入っています。箱の中から同時に3枚を取り出すとき、3枚の組はいくつできますか。
 取り出した3枚を並べると、
  1番目は5通り、2番目は3通り、3番目は2通りから、
  並べ方は、5×4×3 (通り)   ・・・
 1組が3枚の並べ方は、
  1番目は3通り、2番目は2通り、3番目は1通りから、
  並べ方は、3×2×1 (通り/組) ・・・
 ´△ら3枚の組は、
  (5×4×3)/(3×2×1)=10 ・・・(答)

例題2
 箱の中に、1,2,3,4,5 と書かれたカードが入っています。箱の中から同時に2枚を取り出すとき、カードに書かれた数字が両方とも奇数である確率を求めてください。

(解答1) 組合せで解く
 5枚から2枚を取り出し組をつくると、
  全ての場合の数Nは、N=(5×4)/(2×1)=10
 2枚が奇数である組は、
  {1,3〕 {1,5} {3,5} から、
  対象の場合の数 n は、n=3
 よって、求める確率 p は、
  p=n/N=3/10 ・・・(答)

組合せで解く
箱の中
1 4 3
 5 2
 2枚取り出す →
 取り出し方
 N=(5×4)/(2×1)
  =10
両方奇数の組
 {1,3〕
 {1,5}
 {3,5}
 =3
 p=3/10
並べ方で解く
箱の中
1 4 3
 5 2
 2枚取り出す →
 並べ方
 N=5×4=20
両方奇数の並び
 (1,3) (3、1)
 (1,5) (5,1)
 (3,5) (5,3)
 =6
 p=6/20
   =3/10

(解答2) 並べ方で解く
 5枚から2枚を取り出し並べると、
 一方が5通りで他方が4通りから、
  全ての場合の数Nは、N=5×4=20
 2枚が奇数である並べ方は、
   (1,3) (3、1) (1,5) (5,1) (3,5) (5,3) から
  対象の場合の数 n は、n=6
 よって、求める確率 p は、
  p=n/N=6/20=3/10 ・・・(答)

練習
1.  1から5までの数が1つずつ書かれた5枚のカードがあります。この中から同時に2枚のカードを取り出すとき、取り出したカードに書かれた数の和が奇数となる確率を求めてください。
(群馬県高)
2.  7から10までの数が1つずつ書かれた4枚のカードがあります。この中からAとBの2人が続けて1枚ずつひきます。Aがひいたカードに書かれた数を a、Bがひいたカードに書かれた数を b とするとき、a−b≧2 になる確率を求めてください。
(徳島県高)
3.  1から5までの数字が1つずつ書かれた5枚のカードがあります。この中から同時に3枚のカードを取り出すとき、
(1) 取り出し方は全部で何通りですか。
(2) 取り出した3枚のカードに書かれている数の積が偶数となる確率を求めてください。
(岡山朝日高)
4.  箱の中に数字を書いた4枚のカード 〔1〕 〔1〕 〔2〕 〔2〕 が入っています。これらをよくかき混ぜてから、2枚のカードを取り出すとき、それぞれのカードに書かれている数字が同じである確率を求めてください。
(新潟県高)
5.
 〔1}〔2〕〔3〕(4)の4枚のカードがあります。このカードから続けて2枚引き、1枚目を十の位、2枚目を一の位として2桁の整数をつくります。
(1) 2桁の整数は全部で何通りできますか。
(2) 2桁の整数が3の倍数となる確率を求めてください。
(3) 最初の4枚のカードのうち、〔3〕のカードを〔5〕のカードと入れかえて、同様に2桁の整数をつくります。このときできる整数は、カードを入れかえる前と比べて3の倍数になりやすいか、なりにくいか、変わらないか、記号で答えてください。
ア なりやすい  イ なりにくい  ウ変わらない
(島根県高)
答 え











答 え
1.
(解答) 組合せで解く
 5枚から2枚を取り出す組合せ(=取り出し方)は、
  (5×4)/(2×1)=10
 a+b が奇数になる組合せは、
  {1,2か4} 2通り
  {2,3か5} 2通り
  {3,5}   1通り
  {4,5}   1通り
  組合せの数 n は、n=2+2+1+1=6
 求める確率 p は、
  p=6/10=3/5 ・・・(答)
(別解) 並べ方で解く
 取り出したカードの組合せを {a,b} とする。
 a は5通りで、b は4通りから、
  全ての場合の数Nは、N=5×4=20
 a+b が奇数になる並べ方 n は、
  {1,2か4} 4通り
  {2,3か5} 4通り
  {3,5}   2通り
  {4,5}   2通り
  n=4+4+2+2=12
 求める確率 p は、
  p=n/N=12/20=3/5 ・・・(答)
2.
 2人がひいたカードを (a,b) とする。
 a は4通りで、b は3通りから、
  全ての場合の数Nは、N=4×3=12
 a−b≧2 になる場合の数 n は、
  (10,8か7) 2通り
  (9,7)     1通り
  n=2+1=3
 求める確率 p は、
  p=n/N=3/12=1/4 ・・・(答)
3.
(1) 5枚から3枚の取り出し方(=取り出す組合せ)は、
  (5×4×3)/(3×2×1)=10 (通り) ・・・(答)
(2) 積が偶数とならない組合せは、
  {奇数,奇数,奇数}から、{1,3,5} の1通り
 求める確率は、1−1/10=9/10 ・・・(答)
4.
(解答) 組合せで解く
 4枚から2枚を取り出す組合せは、
  N=(4×3)/(2×1)=6
 カードの 1、1、2、2 に、A、B、C、D と名前をつけると、
 2枚が同じ組合せは、{A,B} か {C,D} なので、組合せの数は、
  n=1+1=2
 確率は、p=n/N=2/6=1/3 ・・・(答)
(別解) 並べ方で解く
 4枚から取り出した2枚のカードを並べると
 全ての場合の数Nは、N=4×3=12
 カードの 1、1、2、2 に、A、B、C、D と名前をつけると、
 2枚が同じ場合は、{A,B} か {C,D} なので、並べ方の数は、
  n=2+2=4
 確率は、p=n/N=4/12=1/3 ・・・(答)
5.
(1) 1枚目を a 、2枚目を b とすると、
 2桁の整数は、10a+b で表される。
 a は4通りで、bは3通りから、
 (a,b) の並べ方は全部で、
  4×3=12 (通り) ・・・(答)
(2) 10a+b の範囲を求める。
 10≦10a≦40  1≦b≦4 から、
 11≦10a+b≦44 これを満たす3の倍数は、
 10a+b
=12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42
 この式を満たす(a,b)を求める。
b=12−10a: (1,2)
b=15−10a:  なし
b=18−10a:  なし
b=21−10a: (2,1)
b=24−10a: (2,4)
b=27−10a:  なし
b=30−10a:  なし
b=33−10a: (3,3) 3は1枚なので、なし
b=36−10a:  なし
b=39−10a:  なし
b=42−10a: (4,2)
 以上から、3の倍数になる場合は、4通り
 求める確率は、4/12=1/3 ・・・(答)
(3) ア
 〔3〕を〔5〕に入れかえると、〔1〕〔2〕〔4〕〔5〕となり、
 10≦10a≦50  1≦b≦5 から、
 11≦10a+b≦55 これを満たす3の倍数は、
 10a+b
=12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,
 45,48,51,54
 この式を満たす(a,b)を求める。
b=12−10a: (1,2)
b=15−10a: (1,5) 追加
b=18−10a:  なし
b=21−10a: (2,1)
b=24−10a: (2,4)
b=27−10a:  なし
b=30−10a:  なし
b=33−10a:  なし
b=36−10a:  なし
b=39−10a:  なし
b=42−10a: (4,2)
b=45−10a: (4,5)
b=48−10a:  なし
b=51−10a: (5,1)
b=54−10a: (5,4)
 以上から、3の倍数になる場合は、8通り
 入れかえ前の確率は、4/12=1/3
 入れかえ後の確率は、8/12=2/3 から、
(答) ア (3の倍数になりやすい


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