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確率−カードと式

確率を求める3 目次 >

 カードを取り出し、数式が成り立つ確率を求めてみましょう。

例題
 1、3、5、7、9 と書かれたカードが1枚ずつあります。この5枚のカードから、同時に2枚のカードを取り出すとき、その2枚に書かれている数の和が10以上になる確率を求めてください。
(福岡県高)
 2枚の順序は考えなくてよいので、組合せで解く。
 取り出した2枚の数字を {a,b} とする。
 5枚から2枚を取り出す全ての組合せNは、
  N=(5×4)/(2×1)=10 (通り)
 10≦a+b≦(7+9)=16 で、奇数+奇数=偶数 から、
 a+b=10,12,14,16
  10: {1,9}{3,7}
  12: {3,9}{5,7}
  14: {5,9}
  16: {7,9}
 対象の組合せ n は、n=2+2+1+1=6 (通り)
 求める確率 p は、p=6/10=3/5

練習
1.  0から4までの数字が1つずつ書かれた5枚のカードがあります。この中から同時に2枚のカードを取り出します。
 このとき、取り出したカードに書かれた数の和が、その2数の積よりも小さくなる確率を求めてください。
(和歌山県高)
2.  1から8までの数が1つずつ書かれた8枚のカードが箱に入っています。この箱からの2枚のカードを同時に取り出し、取り出した2枚のカードに書いてある数の積を a 、箱の中に残っている6枚のカードに書いてある数の和を b とするとき、a+b が40より大きい偶数である確率を求めてください。
(大阪府高)
3.  2つの箱A、Bがあります。箱Aには、1,2,3,4,5 の数が書かれた白いカードが1枚ずつ入っています。箱Bには、1,2,3,4,5,6 の数が書かれた青いカードが1枚ずつ入っています。箱A、Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出します。
 箱Aから取り出したカードに書かれている数を a 、箱Bから取り出したカードに書かれている数を b とします。
(1)a=2、b=3 となる確率を求めてください。
(2) a>b となる確率を求めてください。
(3) a と b の積が3の倍数となる確率を求めてください。
(富山県高)
4.  袋Aと袋Bがあります。袋Aには、1,2,3,4 の数字が1つずつ書かれた4枚のカード が入っています。袋Bには、2,3,4、5 の数字が1つずつ書かれた4枚のカード が入っています。
 2つの袋から同時にそれぞれ1枚ずつカードを取り出します。
 このとき、取り出したカードに書かれた2つの数の和を3で割った余りが2となる確率を求めてください。
(都立高)
5.
 2つの袋A、Bがあります。袋Aには、1,2,3,4 の数字が1つずつ書かれた4枚のカード が入っています。袋Bには、0,1,2,3 の数字が1つずつ書かれた4枚のカード が入っています。
 2つの袋からそれぞれ1枚ずつカードを取り出し、袋Aから取り出したカードに書いてある数を a 、袋Bから取り出したカードに書いてある数を b とするとき、b/a が自然数になる確率を求めてください。
(静岡県高 袋名変更)
答 え











答 え
1.
 2枚の順序は考えなくてよいので、組合せで解く。
 取り出した2枚の数字を {a,b} とする。
 5枚から2枚を取り出す全ての組合せは、
  (5×4)/(2×1)=10 (通り)
 a+b<ab を変形すると、
 ab−a−b>0
 ab−a−b+1>1
 (a−1)(b−1)>1 となる組合せは、
  {2,3}{2,4}{3,4}から、3通り
 求める確率は、3/10 ・・・(答)
2.
 2枚の順序は考えなくてよいので、組合せで解く。
 a=m×n とする。(m,nは、1〜8の数)
 1〜8の数から {m,n} を取り出す全ての組合せは、
  (8×7)/(2×1)=28 (通り)
 a+b=偶数>40 となる {m,n} の組合せを求める。
 a+b=mn+1+2+・・・+8−(m+n)
     =mn+36−(m+n)>40
 mn+36−(m+n)=偶数 から、、
  m と n は偶数 ・・・
 mn+36−(m+n)>40 から、
  mn−m−n>4
  mn−m−n+1>5
 (m−1)(n−1)>5 ・・・
 ´△鯔たす組は、
  {m,n}={2,8}
        {4,6か8}
        {6,8}  合わせて、4(通り)
 求める確率は、4/28=1/7 ・・・(答)
3.
 取り出した数を (a,b)とし、 並べ方で解く。
 全ての場合の数は、a が5通りで b が6通りから、
  5×6=30 (通り)
(1)
 (a,b)=(2,3) は1通りから、
 確率=1/30 ・・・(答)
(2)
 a>b となる並べ方は、
 (5,4か3か2か1) 4通り
 (4,3か2か1)    3通り
 (3,2か1)      2通り
 (2,1)         1通り
  4+3+2+1=10 (通り)
 確率は、10/30=1/3 ・・・(答)
(3)
 1≦a≦5 1≦b≦6 から、
 1≦ab≦30
 ab が3の倍数になる場合は、
 ab=3,6,9,12,15,18,21,24,27,30
  3: (1,3)(3,1)
  6: (1,6)(2,3)(3,2)
  9: (3,3)
 12: (2,6)(3,4)(4,3)
 15: (3,5)(5,3)
 18: (3,6)
 21:  なし
 24: (4,6)
 27:  なし
 30: (5,6)
 並べ方は、14 (通り)
 確率は、14/30=7/15 ・・・(答)
4.
 袋A、袋Bから取り出した数の並びを (a,b) とする。
 a は4通りで、b も4通りから、 
 全ての場合の数は、4×4=16 (通り)
 対象の場合の数を求める。
 1≦a≦4  2≦b≦5 から、
 3≦a+b≦9
 a+b=3,4,5,6,7,8,9
 このうち、3で割って2余るのは、
 a+b=5,8  a=1〜4 b=2〜5 から、
  5: (1,4)(2,3)(3,2)
  8: (3,5)(4,4)
 対象の場合の数は、5 (通り)
 確率は、5/16 ・・・(答)
5.
 袋A、袋Bから取り出した数の並びを (a,b) とする。
 a は4通りで、b も4通りから、 
 全ての場合の数は、4×4=16 (通り)
  対象の場合の数を求める。
 1≦a≦4 1/4≦1/a≦1 ・・・
 0≦b≦3 ・・・
´◆А。亜紕/a≦3
 b/a=1,2,3
 b=a,2a,3a  a=1〜4 b=0〜3 から、
 (1,1)(1,2)(1,3)
 (2,2)
 (3,3)
 対象の場合の数は、5 (通り)
 確率は、5/16 ・・・(答)


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