中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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確率−いろいろ

確率を求める3 目次 >

 いろいろな確率の問題を解いてみましょう。

練習
1.
 3個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が6となる確率を求めてください。 
(市川高)
2.  正十二面体のさいころの各面に1から12までの異なる整数が1つずつ書いてあります。このさいころを1回投げたとき、一番上に書いてある数が素数となる確率を求めてください。 
(お茶の水女子大附属高)
3.  1つのさいころを2度投げ、出た目を順に p 、q とするとき、次の確率を求めてください。
(1) 方程式 px-q=0 について、
  x=2 を解にもつ確率
  整数の解をもつ確率
(2) 方程式 x+(p−3)x−q=0 について
  x=−1 を解にもつ確率
  2つの解がともに整数になる確率
(大阪教育大附属高池田)
4.  1、2、3、4、5、6、7、8、9 の数字を1つずつ書いたカードが箱の中に入っています。Nさんは次の規則で、2桁の自然数を作ることにしました。
(規則)
 箱の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数字を十の位とする。
 取り出したカードは箱の中に戻す。
 再び箱の中からカードを1枚取り出し、そのカードに書かれた数字を一の位とする。
 √n が自然数となる n の値は全部で何通りありますか。また、このときの確率を求めてください。
(都立高 確率追加)
答 え











答 え
1.
 3個のさいころの目の組合せを{a,b,c}で表す。
 a+b+c=6 となる組合せは、
  {1,1,4} 並べ方は、4の位置から3通り
  {1,2,3} 並べ方は、3×2×1から6通り
  {2,2,2} 並べ方は1通り
  並べ方は合わせて、10通り
 全ての並べ方は、6×6×6から、216通り
 確率=10/216=5/108 ・・・(答)
(参考)
 場合を組合せで洗い出し、並べ方を数えると、もれや重複のミスが起きにくい。
2.
 1〜12のうち素数は、2,3,5,7,11 の5通り
 全ての目の出方は、12通り
 確率は、5/12 ・・・(答)
3.
 2つのさいころの目の並べ方を(p,q)で表す。
(1)
  px-q=0 で、x=2 から、q=2p
   この関係を満たす並べ方は、
   (1,2)(2,4)(3,6) の3通り
  全ての並べ方は、6×6から、36通り
  確率=3/36=1/12 ・・・(答)
  x=q/p が整数となる並べ方は、
  1≦x≦6 から、
  x=1: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6.6)
  x=2: (1,2)(2,4)(3,6)
  x=3: (1,3)(2,6)
  x=4: (1,4)
  x=5: (1,5)
  x=6: (1,6)
  合わせて、14通り
  確率は、14/36=7/18 ・・・(答)
(2)
  x+(p−3)x−q=0 で、x=−1 から、
  1−p+3−q=0
  p+q=4 となる組合せ{p,q}は、、
   {1,3} 並べ方は2通り
   {2,2} 並べ方は1通り
   合わせて3通り
  確率は、3/36=1/12 ・・・(答)
  x+(p−3)x−q=0
 解の公式から、
  x=〔3−p±{(3−p)+4q}〕/2
 {(3−p)+4q}=n とおき、
 n が整数になる (p,q) の値を求める。
  p=1: n=(4+4q) から、q=3 (n=4)
  p=2: n=(1+4q) から、q=2,6 (n=3,5)
  p=3: n=(4q) から、q=1,4 (n=2,4)
  p=4: n=(1+4q) から、q=2,6 (n=3,5)
  p=5: n=(4+4q) から、q=3 (n=4)
  p=6: n=(9+4q) から、q=4 (n=5)
 p,n の値から 3−p±n はすべて2の倍数であり、
 x は整数となる。
 よって、(p,q) の並べ方は9通り
 確率は、9/36=1/4 ・・・(答)
4.
 1回目、2回目の数の並べ方を (a,b) とする。
  1≦a≦9 から、10≦10a≦90 ・・・
  1≦b≦9 ・・・
  ´△ら、11≦10a+b≦99 ・・・
 (10a+b) が自然数になる場合は、
 10a+b が、を満たし、自然数の2乗であればよいので、
  10a+b=16,25,36,49,64,81
  よって、(a,b)は、6通り ・・・(答)
 (a,b)の全ての並べ方は、9×9から、81通り
 確率は、6/81=2/27 ・・・(答)


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