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公立高校入試2018 円錐

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 公立高校入試の円錐の問題を解いてみましょう。

問題
6.
 下の図は、線分ABを直径とする円 O を底面とし、線分AC を母線とする円錐です。
 AB=8cm、AC=6cm のとき、次の問いに答えてください。ただし、円周率はπとします。
2018円錐
ア この円錐の体積を求めてください。
イ この円錐の表面積を求めてください。
ウ この円錐において、円 O の周上に点Dを∠AO D=120°となるようにとり、線分C Dの中点をEとします。このとき、2点A、Eの距離を求めてください。

答 え










答 え
6.

 円錐の体積=底面積×高さ/3
  底面積=π×4=16π
  高さ=(6−4)=20=2
 体積=(16π×25)/3=32π/3 (cm) ・・・(答)

 円錐の表面積=底面積+側面積
  側面積=大円の面積×(小円の円周/大円の円周)
      =(π×6)×(2π×4)/(2π×6)
      =24π
 表面積=16π+24π=40π (cm) ・・・(答)


(考え方)
 立体を平面上の二等辺三角形や直角三角形でとらえる。
 直角三角形には三平方の定理が使える。
120°の二等辺三角形から、ADを求める。
AからC D上に垂線を引き、垂線で分割される2つの三角形に三平方の定理を使う。

   2018円錐解答
(解答)
 ADを求める。
  ADの中点と O を結ぶと、60°、30°の直角三角形となるので、
  AD/2=2
  AD=4
 AEを求める。
  AからC Dに垂線を引き、交点をE’とする。
  垂線AE’で分けられる2つの三角形に三平方の定理を使う。
  EE’=x とすると、
  垂線=6−(3−x)=(43)−(3+x)
   36+6x=48−6x
   x=1
  垂線=6−(3−x)=32
  △AEE’に三平方の定理を使う。
   AE=垂線+x=32+1=33
   AE=33 (cm) ・・・(答)


参考文献
読売新聞 2018年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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