中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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平均値の計算

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 平均値の計算方法と意味について学習します。

1.平均値の計算方法
 点数のデータが10あります。平均値を求めてみましょう。
点数  1 2 2 2 3 3 3 3 4 4@
 平均値=(1+2+2+2+3+3+3+4+4)/10
      =(1×1+2×3+3×4+4×2)/10
      =2.7 ・・・

 度数分布表から平均値を計算してみましょう。
階級(点) 階級値(点) 度数(人) 階級値×度数(人)
以上   未満
0.5 〜 1.5
1.5 〜 2.5
2.5 〜 3.5
3.5 〜 4.5











12
10
27
 平均値=(階級値×度数)合計/(度数合計)
      =(1×1+2×3+3×4+4×2)/10
      =2.7 ・・・
 そのままのデータから求めた平均値,函度数分布表から求めた平均値
は計算方法が同じであることが分かります。

 ただし、階級の取り方によって階級値が異なると、,鉢△等しくなるとは限りません。次の度数分布表を見てください。階級値は1.5から4.5です。
階級(点) 階級値(点) 度数(人) 階級値×度数(人)
以上   未満
1.0 〜 2.0
2.0 〜 3.0
3.0 〜 4.0
4.0 〜 5.0

1.5
2.5
3.5
4.5





1.5
7.5
14.5
9.0
10
32.5
 平均値=(階級値×度数)合計/(度数合計)
      =32.5/10=3.25≠2.7

2. 平均値はつり合う支点
 次のヒストグラムは、あるクラスの15人に対して実施した5点満点のテストの結果を表しています。この得点の平均値を求めてみましょう。
ヒストグラムから平均値
 平均値=(1×2+2×3+3×2+4×3+5×5)/15
      =3.4 (点)

 ヒストグラムを拡大します。は左右がつり合う支点で、x はつり合う座標です。
平均値とつり合い
 度数を重さ、x と階級値の差を距離と考えます。
 左右がつり合うと、
 左の(重さ×距離)の合計=右の(重さ×距離)の合計
 2(x−1)+3(x−2)+2(x−3)=3(4−x)+5(5−x)
 2x+3x+2x+3x+5x=1×2+2×3+3×2+4×3+5×5
 (2+3+2+3+5)x=1×2+2×3+3×2+4×3+5×5
 x=(1×2+2×3+3×2+4×3+5×5)/15
  =3.4  つまり、x は平均値です。

(参考) 混合濃度は平均値
 (濃度 a %,重さAg)の食塩水と、(濃度 b %,重さBg)の食塩水を混ぜます。
 混合濃度を x %とすると、
  x=(Aa+Bb)/(A+B)
混合濃度とつり合い
 x を、混ぜてつり合った濃度とすると、
 左の重さ×距離=右の重さ×距離 から、
  A(x−a)=B(b−x)
  Ax+Bx=Aa+Bb
  x=(Aa+Bb)/(A+B) つまり、x は平均値です。

練習
1. 下の表は、あるクラスの生徒30人が1か月に読んだ本の冊数をまとめたものです。
 このとき、このクラスの生徒が1か月に読んだ本の冊数の平均値を求めてください。
冊数(冊) 合計
度数(人) 30
(愛知県高)
2.
 下の図は、ある中学校の図書委員について、1週間に読んだ本の冊数と人数の関係を表したものです。1人が1週間に読んだ本の冊数を求めてください。
ヒストグラムの平均値
(石川県高)
答 え











答 え
1.
 平均値=(冊数×度数)合計/(度数合計)
=(1×3+2×5+3×8+4×3+5×8+6×2+7)/30
=(3+10+24+12+40+12+7)/30
=108/30
=3.6 (冊) ・・・(答)

2.
 平均値=(階級値×度数)合計/(度数合計)
 階級値×度数の合計
=0×1+1×3+2×1+3×2+4×
=3+2+6+12=23
 度数の合計=1+3+1+2+3=10
 平均値=23/10=2.3 (冊) ・・・(答)


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