中学から数学だいすき!

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規則性 - 変化の割合1

規則性 >

 変化の割合を利用して、数列(数字の並び)の規則性を式で表してみましょう。

 変化の割合は2点間の傾きを表します。
 グラフ上の点が(x,y)から(x,y)に増加するとき、
 変化の割合=y の増加量/x の増加量 から、
         =(y−y)/(x−x
変化の割合の定義

 1次関数 y=ax+b で、x=x から x=x に変化したときの変化の割合は、
 {(ax+b)−(ax+b)}/(x−x
=a(x−x)/(x−x
=a (一定)
 したがって、x が1増加するとき、y が 一定の値 a で増加するなら、y は傾き a の1次関数であり、
 y=ax+b と表すことができます。

例題
 下の表で、y を x で表してください。
10 1次関数
33333 33 定数

 y の隣の項との差は、3で一定となっている。
 x が1増加すると、y は3増加するので、
 y は傾き3の1次関数であり、
 y=3x+b と表すことができる。
 (x,y)=(1,1) を代入すると、
 1=3+b  b=−2
 よって、y=3x−2 ・・・(答)

練習
1.   下の表で、y を x で表してください。
11

2.  同じ長さの棒を4本並べて正方形をつくります。 x 回目の棒の数 y を x で表してください。

  棒の数

3. 下の図のように、棒を並べていきます。回目の棒の数をSとするとき、Sをの式で表してください。

  棒の数の規則性

答 え











答 え
1.
 x が1増加すると、y は2増加するので、
 y は傾き2の1次関数であり、y=2x+b と表せる。
 (x,y)=(1,5) を代入すると、
 5=2+b  b=3
 よって、y=2x+3 ・・・(答)
11 1次関数
33333 33 定数

2.
 下の表から、y は傾き3の1次関数で、
 y=3x+b と表せる。
 (x,y)=(1,4) を代入すると、
 4=3+b  b=1
 よって、y=3x+1 ・・・(答)
10 13 1次関数
33333 33 定数

3.
 下の表から、S は傾き2の1次関数で、
 S=2n+b と表せる。
 (n,S)=(1,3) を代入すると、
 3=2+b  b=1
 よって、S=2n+1 ・・・(答)
1次関数
33333 33 定数

(別解) 練習2、3を数列ではなく図形の規則性で解く。
2.
 x=1 のとき、y=4
 x=2 のとき、y=4+3=4+3×1
 x=3 のとき、y=4+3+3=4+3×2
 x=4 のとき、y=4+3+3+3=4+3×3
  :
 x=x のとき、y=4+3(x−1)=3x+1 ・・・(答)
3.
 n=1 のとき、S=3
 n=2 のとき、S=3+2=3+2×1
 n=3 のとき、S=3+2+2=4+2×2
 n=4 のとき、S=3+2+2+2=4+2×3
  :
 n=n のとき、S=3+2(n−1)=2n+1 ・・・(答)


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