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規則性 - 変化の割合2

規則性 >

 変化の割合を利用して、数列の規則性を式で表してみましょう。

 変化の割合は2点間の傾きを表します。
 2次関数 y=ax で、グラフ上の点が(x,y)から(x,y)に増加するとき、
 変化の割合=y の増加量/x の増加量
         =(ax −ax)/(x−x
         =a(x+x)(x−x)/(x−x
         =a(x+x
変化の割合の定義  2次関数の変化の割合

 2次関数 y=ax+bx+c で、x=x から x=x に変化したときの変化の割合は、
 {(ax+bx+c)−(ax+bx+c)}/(x−x
={a(x−x)+b((x−x)}/(x−x
={a(x+x)(x−x)+b((x−x)}/(x−x
=a(x+x)+b  x=x=x のとき、
=2ax+b
 2次関数で、x が1増加すると、y は y=2ax+b の1次関数で増加します。
 1次関数 y=2ax+b は、x が1増加すると、y は2a (定数) で増加します。
 したがって、y は2次関数で、y=ax+bx+c と表すことができます。

例題
 下の表で、y を x で表してください。
10 17 26 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数

 y の隣の項との差1は、3,5,7,9
 差1の差は、2,2,2 で定数
 よって、差1は1次関数で、y は2次関数である。
、y=ax+bx+c とする。
 (x,y)=(1,2)、(2,5)、(3,10) を代入すると、
  2=a+b+c   ・・・
  5=4a+2b+c ・・・
 10=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。魁瓧械瓠棕
 −◆А。機瓧毅瓠棕
 2式の差から、2=2a  a=1
 b=3−3a=0
  А。磧瓧押檻瓠檻癲瓧
 よって、y=x+1 ・・・(答)

練習
1. 下の表で、y を x で表してください。
15 24

2. おはじきが並んでいます。n 回目のおはじきの数をSとして、Sを n の式で表してください。
おはじきの規則性   …

3. 下の表は、正n角形の対角線の数Sを表しています。
(1) S を n の式で表してください。
(2) 対角線の数が77本になるのは、正何角形ですか。

  対角線の数

正n角形
対角線の数S
(類題 沖縄県高)

答 え











答 え
1.
 下の表から、y=ax+bx+c とする。
15 24 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数

 (x,y)=(1,0)、(2,3)、(3,8) を代入すると、
  0=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
  8=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。魁瓧械瓠棕
 −◆А。機瓧毅瓠棕
 2式の差から、2=2a  a=1
 b=3−3a=0
  А。磧瓧亜檻瓠檻癲瓠檻
 よって、y=x−1 ・・・(答)

2.
下の表から、S=an+bn+c とする。
10 15 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数

 (x,y)=(1,1)、(2,3)、(3,6) を代入すると、
  1=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
  6=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕
 −◆А。魁瓧毅瓠棕
 2式の差から、1=2a  a=1/2
 b=2−3a=1/2
  А。磧瓧院檻瓠檻癲瓧
 よって、S=n/2+n/2=n(n+1)/2 ・・・(答)

(別解1) 数の和で解く
おはじきの規則性   …  
 S=1+2+3+…+(n−2)+(n−1)+n 逆にすると、
 S=n+(n−1)+(n−2)+…+3+2+1 2式をたすと、
2S=(n+1)×n
 S=n(n+1)/2 ・・・・(答)

(別解2) 図形で解く
 例えば、3回目のおはじきの三角形に、逆にした三角形をたすと、平行四辺形になる。
 これを長方形とみなすと、縦が3、横が(3+1) なので、おはじきの総数は、3(3+1)
 三角形を2つたしたので、1つの三角形のおはじきの数は、3(3+1)/2
 n 回目では、S=n(n+1)/2 ・・・(答)

3.
(1) 下の表から、Sは2次関数なので、
、S=an+bn+c とする。
正n角形
対角線の数S 14  2次関数
差1  2  3  4  5  1次関数
差2 1  1  1  定数

 (n,S)=(3,0)、(4,2)、(5,5) を代入すると、
 0=9a+3b+c  ・・・
 2=16a+4b+c ・・・
 5=25a+5b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧沓瓠棕
 −◆А。魁瓧坑瓠棕
 2式の差から、1=2a  a=1/2
 b=2−7a=2−7/2=−3/2
  А。磧瓠檻/2+9/2=0
 よって、S=n/2−3n/2=n(n−3)/2 ・・・(答)

(2) 77=n(n−3)/2
 n−3n−154=0
 (n+11)(n−14)=0
 n≧3 から、n=14
(答) 正14角形

(別解1) 数の和で解く
 例えば正5角形では、
 1つの頂点から引ける線(辺+対角線)は、4本
 次の頂点から引ける線は、重複なしで3本
          :
 次の頂点から引ける線は、重複なしで1本
 線の合計は、4+3+2+1 本
 対角線数は、(4+3+2+1)−辺の数5

 正n角形では、線の合計は、
 S={(n−1)+(n−2)+…+2+1}−n 逆にすると、
 S={1+2+…(n−2)+(n−1)}−n 2式をたすと、
2S=n×(n−1)−2n=n−3n
 S=n(n−3)/2 ・・・(答)

(別解2) 図形で解く
 例えば正5角形では、1つの頂点から引ける対角線の数は、1つの頂点および両隣の頂点を除いた頂点の数なので、(5−3)
 5つの頂点からは、5(5−3) となる。
 しかし、重複があるので、5(5−3)/2
 正n角形では、S=n(n−3)/2 ・・・(答)


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