中学から数学だいすき!

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規則性 - 変化の割合3

規則性 >

 変化の割合を利用して、累乗の和を求めてみましょう。
規則性 累乗の和
例題
 S=1+2+3+…+n とします。
(1) Sを n の式で表してください。
(2) Sが300 のとき、nの値求めてください。

(1) S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求めます。
10 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 表から、Sは2次関数で、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,3) を代入すると、
  0=c
  1=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
 b を消去する。
◆櫚 滷押А。院瓧横瓠 a=1/2
 А。院瓧/2+b  b=1/2
 よって、
 S=n/2+n/2=n(n+1)/2 ・・・(答)

(2) n(n+1)/2=300
 n+n−600=0   600=5×5×24 から、
 (n+25)(n−24)=0
 n>0 から、n=24 ・・・(答)

練習
 S=1+2+3+…+n とします。Sを n で表してください。

答 え











答 え
 S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
14 30 55 3次関数
差1  1  916  25 2次関数
差2 22227  9 1次関数
差3 2  2  2 定数
 表から、Sは3次関数で、
 S=an+bn+cn+d とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14)
 を代入すると、
  0=d
  1=a+b+c+d      ・・・
  5=8a+4b+2c+d   ・・・
 14=27a+9b+3c+d  ・・・
 c を消去する。
◆櫚 滷押А 。魁瓧僑瓠棕横癲  ΑΑΝ
− 滷魁А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
ァ櫚ぁ滷魁А 。押瓧僑瓠 a=1/3
ぁА。魁瓧押棕横癲 b=1/2
 А。院瓧/2+1/3+c  6倍する。
   6=3+2+6c  c=1/6
 よって、
 S=an+bn+cn+d
  =n/3+n/2+n/6  6倍する。
 6S=2n+3n+n
   =n(2n+3n+1)
   =n(n+1)(2n+1)
 S=n(n+1)(2n+1)/6 ・・・(答)

(参考) 累乗の和
 1+2+3+…+n=n(n+1)/2
 1+2+3+…+n=n(n+1)(2n+1)/6
 1+2+3+…+n={n(n+1)/2}  ()

() S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
36 100 225 4次関数
差1 1   8  @2764125 3次関数
差2 22192237  61 2次関数
差3 12  18  24 1次関数
差3 6  6 定数
 表から、Sは4次関数で、
 S=an+bn+cn+dn+e とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,9)、(3,36)、(4,100)
 を代入すると、
  0=e
  1=   a+   b+  c+ d+e ・・・
  9= 16a+  8b+ 4c+2d+e ・・・
 36= 81a+ 27b+ 9c+3d+e ・・・
100=256a+ 64b+16c+4d+e ・・・
 d を消去する。
- 滷押А 。掘瓧隠苅瓠棔 。僑癲棕横磧  ΑΑΝ
- 滷魁А。械魁瓧沓牽瓠棔。横苅癲棕僑磧  ΑΑΝ
- 滷粥А。坑供瓧横毅横瓠棕僑娃癲棕隠横磧 ΑΑΝ
 c を消去する。
-ァ滷魁А。隠押瓧械僑瓠棕僑癲  ΑΑΝ
-Α滷押А。械亜瓧坑僑瓠棕隠横癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
-─滷押А。供瓧横苅瓠 a=1/4
─А。隠押瓧后棕僑癲 b=1/2
ァА 。掘瓧/2+3+2c  2倍する。
   14=7+6+4c  c=1/4
 А。院瓧/4+1/2+1/4+d  d=0
 よって、
 S=an+bn+cn+dn+e
  =n/4+n/2+n/4  4倍する。
 4S=n+2n+n
   =n(n+2n+1)=n(n+1)
 S={n(n+1)/2}


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