中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< December 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>
<< 規則性 - 変化の割合3 | 最新へ | 規則性 - 行と列1 >>

規則性 - 累乗の和

規則性 >

 1+2+3+… や、1+2+3+… など、累乗の和を求める規則性の問題を解いてみましょう。

 例えば下の図で、球の総数は累乗の和になっています。
規則性 累乗の和

 図の左から順に、累乗の和は積の式で表すことができます規則性 - 変化の割合3
 S=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
 S=1+2+3+…+n=n(n+1)(2n+1)/6
 S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2}

 1乗の和は2次関数、2乗の和は3次関数、3乗の和は4次関数です。それぞれ、曲線のグラフになります。

グラフ 累乗の和

練習
1. 下の図のように、れんが積まれています。1段目は1個、2段目は3個、3段目は5個と続きます。

    奇数の和

(1) n 段目までのれんがの総数をSとするとき、Sを n の式で表してください。
(2) れんがの総数が576になるのは、何段目ですか。

2、 下の図のように球が積まれています。

   2乗の和の問題

(1) 5段目まで積むと、球の総数は何個になりますか。
(2) 何段目まで積むと、球の総数が204個になりますか。

3. S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2} とします。Sが784のときの n の値を求めてください。

答 え











答 え
1.
(1)
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
16 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 (n,S)の表から、S=n ・・・(答)

(別解1) 変化の割合で解く
 表から、Sは2次関数なので、
 S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,4) を代入すると、
 0=c
 1=a+b   ・・・
 4=4a+2b ・・・
◆櫚 滷押А。押瓧横瓠 。瓠瓧
 А。院瓧院棕癲 。癲瓧
 よって、S=n ・・・(答)

(別解2) 数の和で解く
 n 段目は奇数で、(2n−1) 個なので、
 S=1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1) 逆にする。
 S=(2n−1)+(2n−2)+…+5+3+1 2式をたす。
2S=2n×n
 S=n ・・・(答)

(別解3) 図で解く
 1+3+5+7 は、下の図と同じ(同型性)なので、
  奇数の和の図   S=n ・・・(答)

(2) S=n=576  
 576=4×144=(2×12)
 n>0 から、n=24 (段目) ・・・(答)

2.
(1)
 1+2+3+4+5
=1+4+9+16+25=55 (個) ・・・(答)
(2)
 55+6=91
 91+7=140
 140+8=204
(答) 8段目

3.
 S=1+2+3+…+n={n(n+1)/2}
 A=n(n+1)/2 とする。
 A=784  784=4×196=(2×14)
 A>0 から、A=784=28
 n(n+1)/2=28
 n+n−56=0
 (n+8)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする