中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性 - 行と列1

規則性 >

 行と列からなる数字の並びについて、規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 次のカレンダーで、縦、横に2つずつ並んでいる
 4つの数の組 について考えます。 では、
12 13
 a=5、b=6、c=12、d=13 です。
10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
 このような4つの数の組 をどこに選んでも、
 bc−ad の値はいつも7になることを、文字式を用いて証明してください。 
(奈良県高)
(解答)
 翌日は+1、翌週は+7 となっているので、
  b=a+1
  c=a+7
  d=c+1=a+8
 bc−ad=(a+1)(a+7)-a(a+8)
      =a+8a+7−(a+8a)
      =7
 よって、bc−ad の値はいつも7になる。

練習
1. 下の図は、あるクラスの座席を出席番号で表したものです。
教卓
26 21 16 11
27 22 17 12
28 23 18 13
29 24 19 14
30 25 20 15 10
 この図中のような4つの数の組 について考えます。、
 このとき、bc−ad の値はつねに5になることを、a を用いて証明してください。
(栃木県高)
2. 下の表は、小学校で学習したかけ算九九の表です、
かける数






10 12 14 16 18
12 15 18 21 24 27
12 16 20 24 28 32 36
10 15 20 25 30 35 40 45
12 18 24 30 36 42 48 54
14 21 28 35 42 49 56 63
16 24 32 40 48 56 64 72
18 27 36 45 54 63 72 81
 優花さんは表中の3つの数の、12,20、30 について、次のことに気がつきました。
 12+30=20×2+2 
  (左上の数+右下の数=中央の数×2+2)
 かけられる数を a、かける数を b とすると、中央の数は ab です。
 優花さんが気がついたことを証明してください。
(広島県高 問題要約)
答 え











答 え
1.
 下の数字は+1、左の数字は+5 なので、
  b=a+1
  c=a+5
  d=c+1=a+6
 bc−ad=(a+1)(a+5)−a(a+6)
      =a+6a+5−(a+6a)
      =5
 よって、bc−ad の値はつねに5になる。

2.
  中央の数は、ab
  左上の数は、(a−1)(b−1)
  右下の数は、(a+1)(b+1) なので、
 左上の数+右下の数
=(a−1)(b−1)+(a+1)(b+1)
=2ab+2
 よって、左上の数+右下の数=中央の数×2+2


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