中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性 - 行と列2

規則性 >

 数字の並びについて、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の図のように、自然数を1から順に横に7個ずつ並べました。
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 29 30
(1) 4つの数 について考えます。
 2番目に小さな数と、3番目に小さな数の積から、1番小さな数と1番大きな数の積をひいた差は、35であることを証明してください。
 例: a=4、b=9、c=11、d=16 のとき、bc−ad=35
(2) 5つの数 について考えます。
 a、b、c、d、e について、どのような場合でも成り立つ関係のうち、次の条件を満たす等式を1つ求めてください。
条件
  a、b、c、d、e をすべて使った等式である。
  a、b、c、d、e をそれぞれ1回ずつ使った等式である。
(大分県高 問題要約)

2. 下の図のように、連続する自然数をある規則にしたがって、1番目、2番目、… と並べていきます。
 このとき、3番目の右上すみにある数は16、左下すみにある数は10となっています。
1番目 2番目 3番目
16
15  …
14
10 11 12 13
(1) 4番目の右上すみにある数を答えてください。
(2) n 番目の右上すみにある数を、n を用いて表してください。
(3) 右上すみにある数と左下すみにある数の和が 146 となるのは何番目ですか。
(群馬県高)
答 え











答 え
1.
(1) 
 1番小さな数が a のとき、
 2番目に小さな数は、b=a+5
 3番目に小さな数は、c=b+2=a+7
 1番大きな数は、   d=c+5=a+12
 bc−ad=(a+5)(a+7)−a(a+12)
      =a+12a+35−(a+12a)
      =35
(2)
 1番小さな数が a のとき、
  b=a+5
  c=b+1=a+6
  d=c+1=a+7
  e=d+5=a+12
 a〜e を上下左右にあてはめる。
b=
a+5
c=
a+6
d=
a+7
e=
a+12
 中央の数は、上下の数の平均になっている。
。また、左右の数の平均になっているので、
  c=(a+e)/2
  c=(b+d)/2
 2式をたすと、
  2c=(a+b+d+e)/2
  a+b+d+e=4c ・・・(答)

2.
(1) 4番目は、左下すみが( 16+1)=(4+1)=17 なので、
 右上すみは、左に4つ、上に4つ移るので、
 17+4×2=25 ・・・(答)

(2) (n+1)

n番目
右上すみ 16 25 (n+1)

(3) (n−1)番目の右上すみは、n なので、
 n 番目の左下すみは、n+1
 n 番目の右上すみは、(n+1)
 左下すみの数と右上すみの数の和が146から、
  n+1+(n+1)=146
  2n+2n+2=146
  n+n−72=0
  (n+9)(n−8)=0
  n>0 から、n=8 (番目) ・・・(答)

(別解)
n番目
右上すみ 16 25 (n+1)
左下すみ 10 17
すみの和S 14 26 42 2次関数
Sの差1 8  12 16   1次関数
Sの差2 4  4    定数

 すみの和は2次関数なので、、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(1,6)、(2,14)、(3,26) を代入する。
  6=a+b+c   ・・・
 14=4a+2b+c ・・・
 26=9a+3b+c ・・・
◆櫚 А 。検瓧械瓠棕
−◆А。隠押瓧毅瓠棕
2式の差: 4=2a  a=2
 8=3a+b  b=2
 А。供瓧押棕押棕磧 。磧瓧
 よって、S=2n+2n+2=146
 n+n−72=0
 (n+9)(n−8)=0
 n>0 から、n=8 (番目) ・・・(答)


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