中学から数学だいすき!

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規則性 - 行と列3

規則性 >

 隣接する4つの数字について、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の表は、自然数を規則的に並べたものです。
1列目 2列目 3列目 4列目
1行目
2行目
3行目 12
4行目 12 16
(1) 4は1行目の4列目の位置、2行目の2列目の位置、4行目の1列目の位置にあります。10は何か所にあるか求めてください。
(2) 3行目にある数のうち、横に連続して並んだ3つの数の和が144になるものがあります。この3つの数の中で最も小さい数を求めてください。
(3) 四角枠の4つの数 について考えます。
12
 (6+12)−(9+8) のように、上の数と右下の数の和から、右上の数と左下の数の和をひきます。このとき、その差は、四角枠がどの位置にあっても 1 になります。このことを証明してください。
 なお、左上の数が a 行目、b 列目の位置にあるとき、その数の値は ab であることを用いてください。 
(石川県高 問題要約)

2. 下の表は、1段目に、1から20までの自然数を、2段目に、1から20までの自然数を2乗した数を、それぞれ小さい順にかいたものの一部です。
20
16 25 36 400
← 1段目
← 2段目
 この表において、 のように並んだ4つの組の数を、
とします。
 4つの数、x,a,b,c の和が 242 となるとき、x の値を求めてください。
(山口県高)
答 え











答 え
1.
(1) 各行は、1の倍数、2の倍数、3の倍数、… となっている。
 10があるのは、
 1行目:  1×10(列目)−10
 2行目:  2× 5(列目)=10
 5行目:  5× 2(列目)=10
10行目: 10× 1(列目)=10
 よって、10があるのは、4か所 ・・・(答)

(2) 3行目の n 列目の数は、3n なので、
 最小の数を 3n とする。
 連続する3つの数の和は、
  3n+3(n+1)+3(n+2)=144  3で割ると、
  n+n+1+n+2=48
  3n=45 ・・・(答)

(3) 上の数は、ab
 右下の数は、(a+1)(b+1)
 右上の数は、a(b+1)
 左下の数は、(a+1)b
 上の数と右下の数の和から、右上の数と左下の数の和をひくと、
 {ab+(a+1)(b+1)}−{a(b+1)+(a+1)b}
=(2ab+a+b+1)−(2ab+a+b)=1

2.
 a,b,c を x で表す。
  a=x+1
  b=x
  c=(x+1)
 x+a+b+c=242
 x+(x+1)+x+(x+1)=242
 2x+1+2x+2x+1=242
 2x+4x+2=242
 x+2x+1=121
 (x+1)=121
 x+1>0 から、x+1=11  x=10 ・・・ (答)


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