中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< September 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>
<< 規則性 - 行と列3 | 最新へ | 規則性 - タイルの数 >>

規則性 - 三角形の数1

規則性 >

 三角形を積み上げる、規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 棒を並べて三角形を作ります。1回目は、3本で1つの三角形を作ります。
三角形の棒の数
(1) 下の段の三角形が45個になるのは何回目ですか。
(2) 4回目は、棒を何本使いますか。
(3) 棒が84本になるのは何回目ですか。

(解答)
(1) 下の段の三角形の数は、1,3,5,7,、… と奇数で増加するので、
 2n−1=45
 n=23 (回目) ・・・(答)

(2) 塗りつぶした三角形の数をKとする。
三角形の棒の数
 n=1: K=1
 n=2: K=1+2
 n=3: K=1+2+3
   :
 n=n: K=1+2+3+…+n
      K=n+(n−1)+(n−2)+…+2+1
     2K=(n+1)n
      K=n(n+1)/2
 棒の数Sは、3Kなので、S=3n(n+1)/2
 n=4 のとき、S=3n(n+1)/2=30 (本) ・・・(答)

(3) S=3n(n+1)/2=84
 n(n+1)=56
 n+n−56=0
 (n*8)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 (回目) ・・・(答)

(別解) 数字の並びから棒の数Sを求める
18 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 表から、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,3)、(2,9) を代入する。
  0=c
  3=a+b   ・・・
  9=4a+2b ・・・
 ◆櫚 滷押А。魁瓧横瓠 。瓠瓧/2
  А。魁瓧/2+b  b=3/2
 よって、
 S=(3/2)n+(3/2)n=3n(n+1)/2

練習
1. 下の図のように、数字の書かれた正三角形が並んでいます。
例題 正三角形の数字
(1) n 段目の正三角形に書かれている自然数のうち、最も大きな数を n を用いて表してください。
(2) 正三角形を使って、大きな正三角形を作りました。最も下に並んだ正三角形の左端と右端の数字の和が1986になるのは、何段目ですか。

2. 長さが9cmの棒があります。下の図のように、2本の棒でΛ形をつくります。底辺の間隔は6cmです。使える棒を40本までとして、形を1回目、2回目、3回目、… のように積み上げて塔をつくるるとき、最も高く積み上げた塔の高さを求めてください。
塔の高さ
(滋賀県高 改題)
答 え











答 え
1.
(1) 各段において、右端の数が最大であり、
 1,4,9,… =1,2,3 … となっている。
 よって、n 段目は、n ・・・(答)

(2) 最下段で、右端の数は、n
 左端の数は、1段上の右端の数+1 から、
  (n−1)+1
 最下段の左端の数と右端の数の和が1986から、
  {(n−1)+1}+n=1986
  2n−2n+2=1986
  n−n−992=0  992=4×4×2×31=32×31
  (n+31)(n−32)=0
  n>0 から、n=32 (段目) ・・・(答)

2.
 n 回目の棒の数Sは、上向きのΛの数×2 から、
 n=1: S=1×2
 n=2: S=(1+2)×2
 n=3: S=(1+2+3)×2
   :
 n=n: S=2(1+2+3+…+n)
      S=2{n+(n−1)+(n−2)+…+2+1}
     2S=2(n+1)n
      S=n(n+1)
 連続する自然数の積が、40以内に最も近いのは、
 S=5×6=30 から、n=5
 三平方の定理から、Λ形の高さは、
  (9−3)=72=6
 n=5 (段) あるので、搭の高さは、
  62×5=302 (cm) ・・・(答)

(別解) 数字の並びから棒の数Sを求める
12 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 表から、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,2)、(2,6) を代入する。
  0=c
  2=a+b   ・・・
  6=4a+2b ・・・
 ◆櫚 滷押А。押瓧横瓠 。瓠瓧
  А。押瓧院棕癲 。癲瓧
 よって、
 S=n+n=n(n+1)


JUGEMテーマ:学問・学校

- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする