中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< November 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >>
<< 規則性 - 三角形の数1 | 最新へ | 規則性 - 重なる図形1 >>

規則性 - タイルの数

規則性 >

 タイルを並べる規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 正方形の合同な白と黒のタイルを使い、下図のような模様を作っていきます。
 1番目は、白のタイルを1個置きます。
 2番目は、白を2個ずつ縦に2列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
 3番目は、白を3個ずつ縦に3列置き、白に囲まれた部分に黒を置きます。
 以下、このような作業を繰り返し、4番目、5番目、… とします。

   白黒タイルの規則性

(1) 6番目の模様について、白のタイルと黒のタイルの個数を求めてください。
(2) 番目の模様について、白のタイルと黒のタイルの個数をを使った式で表してください。
(3) それぞれの模様において、タイルの総数は必ず奇数になることを証明してください。
(4) タイルの総数が181個になるのは、何番目ですか。
(富山県高)
(1) 下の表から、n番目のとき、白は、黒は(−1) なので、
 =6 のとき、白は36枚、黒は25枚 ・・・(答)
16
2次関数
黒差1    3    1次関数
黒差2 2  定数
(別解) 数字の並びから黒の式を求める
 表から黒の枚数を、S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(1,0)(2,1)(3,4)から、
  0=a+ b+c  ・・・
  1=4a+2b+c ・・・
  4=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。院瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。魁瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ァ櫚ぁА■押瓧横瓠 。瓠瓧
 ぁА。院瓧魁棕癲 。癲瓠檻
 А。亜瓧院檻押棕磧 。磧瓧
 よって、S=n−2n+1=(n−1)

(2) 白は 個  黒は(−1) 個 ・・・(答)

(3) タイルの総数は、
 +(−1)=2−2n+1=2n(n−1)+1
 n は自然数なので、2n(n−1) は、0を含む偶数である。
 偶数+1 は奇数である。
 よって、タイルの総数は必ず奇数になる。
(4)
 +(−1)=181
 2−2n−180=0
 −n−90=0
 (n+9)(n−10)=0
 n>0 なので、n=10 (番目) ・・・(答)

練習
1. 下の図のように、黒、白、赤のタイルを規則的に並べます。まら、それぞれの枚数について表をつくります。
 図
規則性 タイルの数
 表
(番目)
黒 (枚)
白 (枚) 10
赤 (枚)
(1) 4番目のそれぞれの枚数を求めてください。
(2) n 番目の白の枚数を、n を使って表してください。
(3) すべての枚数が99枚になるのは、何番目ですか。
(愛媛県高)
2.
A. 図1のように、同じ大きさの正方形の白いタイルと黒いタイルを、規則的に置いていきます。
図1
規則性白黒タイルの数1
(1) 表1は図1をまとめたものです。【 ア 】【 イ 】にあてはまる数を答えてください。
 表1
(番目) n+1
白 (枚) 【 ア 】
黒 (枚) 10 【 イ 】
合計 (枚) 16
(2) n が奇数のとき、白の枚数と黒の枚数それぞれについて、
(n+1)番目から n 番目をひいた差を、求めてください。

B. 図2は図1における1番下に置いたタイルを表しています。
図2
規則性白黒タイルの数2
 表2は図2をまとめたものです。
 表2
(番目)
白(枚)
黒(枚)
合計
(1) 8番目の白の枚数を求めてください。
(2) 両端が白で、黒が24枚のとき、何番目か求めてください。
(3) 白と黒の合計が101枚のとき、何番目か求めてください。
(和歌山県高 改題)
答 え











答 え
1.
規則性 タイルの数
 n 番目の枚数は、
 黒: n
 白: 1行目と3行目が n
     2行目が n+1
     合計で、2n+(n+1)=3n+1
 赤: 2(n+1)
10 13 2n+(n+1)
10 2(n+1)
(1)
 n=4 のとき、
 黒: n=4 (枚)
 白: 3n+1=13 (枚)
 赤: 2(n+1)=10 (枚) ・・・(答)

(2) n=3n+1 (枚) ・・・(答)

(3) n+(3n+1)+2(n+1)=99
 6n+3=99
 n=96/6=16 (番目) ・・・(答)

2.
A.
 表1
(番目) n+1
白 (枚) 15 【15】
黒 (枚) 10 10 【21】
合計 (枚) 16 25 36
(1)
 n=5,6 のとき、白は15から、【 ア 】は15 ・・・(答)
 合計は、n から、n=6 のとき、36
 黒の【 イ 】は、36−【 ア 】=21 ・・・(答)

(2)
 n が奇数のとき、
 白は、n と (n+1) は同じ数から、差は0 (枚) ・・・(答)
 黒は、隣の項との差が、次の表のようになっている。
隣との差 S 11 15 1次関数
Sの差 1   1   1 定数
 黒の隣との差を、S=an+b とする。
 (n,S)=(1,3)、(3,7) を代入する。
  3=a+b  ・・・
  7=3a+b ・・・
◆櫚 А。粥瓧横瓠 。瓠瓧
 А。魁瓧押棕癲 。癲瓧
 よって、S=2n+1 (枚) ・・・(答)

B.
(1) 白は偶数番目で、2ずつ増加する。
 白の枚数は、
 n=2: 1
 n=4: 3
 n=6: 5
 n=8: 7 (枚) ・・・(答)

(2) n が3以上の奇数のとき、両端が白になる。
 黒の枚数は、
 n=3: 2
 n=5: 4
 n=7: 6
   :
 n=n: n−1
 n−1=24 から、n=25 (番目)

(3)
 白と黒の合計は、
 n=1: 1
 n=2: 3
 n=3: 5
   :
 n=n: 2n−1
 2n−1=101 から、n=51 (番目) ・・・(答)

(別解) 数字の並びから合計の式を求める
(番目)
合計 S 1次関数
合計の差 2   2   2 定数
 合計Sを、S=an+b とする。
 (n,S)=(1,1)、(2,3) を代入する。
 1=a+b
 3=2a+b
 2式の差から、2=a
 1=2+b  b=−1
 よって、S=2n−1


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする