中学から数学だいすき!

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規則性 - 重なる図形1

規則性 >

 掲示物などを重ねて貼るときの、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の図のように、正方形の 紙を一部が重なるよ うに縦と横に並べ、細長いマグネットでとめ、黒板に掲示します。マグネットは、 紙の上下左右に1か所ず つとめ、2枚の紙が重 なっている部分は、1個のマグネッ トでとめます。
 例えば、縦に2列、横に2列の計4枚の紙を掲示するときは,12個のマグ ネットでとめることになります。
紙の掲示
(1)  縦に3列,横に3列の計9枚の紙を掲示するとき, 使うマグネットは全部で何個ですか。
(2) 「縦に3列,横に3列」のように,縦と横の列の数が同じになるように,紙を掲示したとき、使ったマグ ネットは全部で180個でした。掲示した紙は全部で何枚ですか。
(宮崎県高 問題要約)

2. 青いのタイルA と、白いタイルB を下の図のように並べます。表ほ、1番目、2番目、3番目におけるタイルの枚数についてまとめたものです。
タイルの重なり
(番目)
A (枚) 18
B (枚) 15 23 31
(1) n 番目について、タイルAの枚数とタイルBの枚数を、それぞれ n を用いて表してください。
(2) タイルAの枚数がタイルBの枚数より1043枚多くなるのは、何番目からですか。
(京都府高 問題要約)
答 え











答 え
1.
(1) 紙が9枚のとき、マグネットの個数は、
 縦横ともに、3×4=12 から、
 12×2=24 (個) ・・・(答)

(2) 紙の枚数を n 、マグネットの個数をSとする。
 n=1=1: S=(1×2)×2
 n=2=4: S=(2×3)×2
 n=3=9: S=(3×4)×2
   :
 n=m:   S=2m(m+1)=180 から、
 m+m−90=0
 (m+10)(m−9)=0
 m>0 から、m=9
 n=m=81 (枚) ・・・(答)

タイルの重なり

(1) Aの枚数をA、Bの枚数をBとする。
 n=1: A=1×2   B=3×2−1−A
 n=2: A=2×2  B=4×2−1−A
 n=3: A=3×2  B=5×2−1−A
   :
 n=n: A=n×2  B=(n+2)×2−1−A
       =2n     =2(n+4n+4)−1−2n
                =8n+7
(答) タイルA: 2n (枚)
    タイルB: 8n+7 (枚)

(2) A=B+1043 から、
 2n=8n+7+1043
 2n−8n−1050=0
 n−4n−525=0
 n−4n+4=525+4
 (n−2)=23
 n=2±23
 n>0 から、n=25 (番目) ・・・(答)


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