中学から数学だいすき!

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規則性 - 重なる図形2

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 重なる図形の面積について、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の図のように、1辺の長さが 3cm の正方形を、右と下に 1cm ずつずらしながら順に重ねて図形をつくります。ただし、重なる部分は、1辺の長さが 2cm の正方形となるようにします。
 また、図形の周の長さは、太線の長さとし、図形の面積は、太線で囲まれた部分の面積とします。
 例えば、2番目の図形の、周の長さは 16cm、面積 は 14cm となります。

規則性_紙の重なり
(1) 5番目の 図形の周の長さを求めてください。
(2) 10番目の図形の面積を求めてください。
(3) 周の長さが 100cm のとき、面積を求めてください。
(富山県高 (3)改題)

2.  下の図のように、1辺が 2 cm の正方形の紙を重なるように貼っていきます。重なる部分は1辺が 1 cm の正方形です。
 重なっているすべての正方形の面積(水色)をA、重なっていないすべての部分の面積(白色)をBとします。

規則性_菱形の重なり
(1) Bの面積が 20 cm のとき、貼り合わせた紙の枚数を求めてください。
(2) 貼り合わせた紙の枚数を n 枚とするとき、Aの面積とBの面積の比が 3:7 となるとき、 n を求めてください。
(高知県高 問題要約)
答 え











答 え
1.
(1) 大きな正方形5個の周の長さから、小さな正方形4個の周の長さを引くと、
 (3×4)×5−(2×4)×4
=60−32=28 (cm) ・・・(答)

(2) 大きな正方形10個の面積から、小さな正方形9個の面積を引くと、
 (3×3)×10−(2×2)×9
=90−36=54 (cm) ・・・(答)

(3)
 n 番目の周の長さは、
 (3×4)n−(2×4)(n−1)
=12n−8n+8=4n+8
 4n+8=100 から、n=92/4=23

 n 番目の面積は、
 (3×3)n−(2×2)(n−1)
=9n−4n+4
=5n+4  n=23 から、
=115+4=119 (cm) ・・・(答)

2.
(1) n 枚目の水色部分は、(n−1) 個から、
 A=(1×1)(n−1)=n−1
 B=(2×2)n−2A=4n−2(n−1)
 2(n+1)=20  n=9 (枚) ・・・(答)
規則性_3枚の重なり

(2)
 A:B=3:7 から、
 (n−1):2(n+1)=3:7
 7n−7=6n+6
 n=13 (枚) ・・・(答)


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