中学から数学だいすき!

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規則性 - 三角形の数2

規則性 >

 三角形の数について、規則性の問題を解いてみましょう。

練習
1. 下の図は、1辺が 1cm の正三角形を隙間なく並べてつ作った正六角形です。
 1番目は、1辺が 1cm の正六角形で、正三角形を6個使っています。2番目は、1辺が 2cm の正六角形で、正三角形を24個使っています。
規則性_正六角形
(1) 1辺が 3cm の正六角形を作るとき、正三角形の個数を求めてください。
(2) 1辺が n cm の正六角形を作るとき、正三角形の個数を求めてください。
(3) 1辺が (n+1) cm の正六角を作るときに必要な正三角形の個数が、1辺が n cm の正六角を作るときに必要な正三角形の個数よりも 138 個多いとき、n の値を求めてください。
(熊本県高 問題要約)

2. しんじさんは、美術の授業でデザインを考えました。
 最初に、図1のように3つの白い正三角形と1つの黒い正三角形を組み合わせた模様をかきました。その後、以下に示す作業を何回かくり返して規則的な模様をつくりました。
 〔作業〕
手順1  白い三角形をすべて見つける。
手順2  手順1で見つけたそれぞれの白い正三角形について、3辺の中点を結んで新たに4つの合同な正三角形をつくる。
手順3  手順2でつくられた正三角形のうち、最初にかいた黒い正三角形と同じ向きの正三角形をすべて黒く塗りつぶす。

   フラクタル

(1) 作業が4回終わったときにできた模様には、黒い正三角形は全部で何個ありますか。
(2) 作業が4回終わったときにできた模様にある黒い正三角形のなかで、最も小さな正三角形の面積を1cmとします。すべての黒い正三角形の面積の和を求めてください。 
(岩手県高)

答 え











答 え
1.
(1) 正六角形の1辺の長さを n cm 、三角形の数をSとする。
 n=1: S=6
 n=2: S=6+3×6  ← 水色の正三角形3個が6辺分ある。
       =6(1+3)=6×4=6×2
 n=3: S=6+3×6+5×6
       =6(1+3+5)=6×9=6×3
       =54 (個) ・・・(答)
規則性_正六角形_解答
(2)
  n=4: S=6+3×6+5×6+7×6
          =6(1+3+5+7)=6×16=6×4
    :
  n=n: S=6n ・・・(答)

(3) 6(n+1)−6n=138
 (n+1)−n=23
 2n+1=23
 n=11 ・・・(答)

2.
   フラクタル

(1) n 回目の作業後の黒い三角形の個数をSとする。
 n=0:  S=1 (図1)
 n=1: 図2は(図1+3) から、S=1+3
 n=2: 図3は(図2+3×3) から、S=1+3+3
 n=3: 図4は(図3+3×9) から、S==1+3+3+3
 n=4:
  S=1+3+3+3+3=121 (個) ・・・(答)

(別解) Sを n で表して計算
 S=1+3+3+3+3+…+3      ・・・
3S=   3+3+3+3+…+3+3n+1 ・・・
◆櫚:: 2S=3n+1−1
 S=(3n+1−1)/2
 n=4 のとき、S=(3−1)/2=242/2=121 (個)

(2)
 S=1+3+3+3+3
  =3+3+3+3+1
 相似比は小さいほうから、1:2:4:8:16 なので、
 面積比は、
 1:2:4:8:161:4:16:64:256
 面積の和は、
 S=××16×64×3+256×
  =81+4×27+16×9+64×3+256
  =81+108+144+192+256
  =781 (cm) ・・・(答)


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