中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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規則性 - 自然数の和1

規則性 >

 自然数、偶数、奇数の和について、規則性の問題を式で解いてみましょう。

練習
1. 下の表のような自然数、偶数、奇数の数列(規則的な数字の並び)があります。
番目
自然数
偶数 【ア】
奇数 【イ】
(1) 【ア】、【イ}の数を n で表してください。
(2) 次のガウス少年のエピソードをもとに、 銑の和を求めてください。
 ガウスは9歳(小学3年)の頃、1+2+3+・・・+100 の計算を出題されました。少年は、数字を逆に並べてたすと、101の項が100個あるので、(101×100)÷2 によって、すぐに計算ができました。
  S=1+2+3+・・・+99+100
  S=100+99+・・・+3+2+1
 2S=101×100
  S=101×100÷2=5050
 。院棕押棕魁棔帖棕
◆。押棕粥棕供棔帖棔撻◆
 1+3+5+…+【イ】

2. 次の数列の和は 156 です。n の値を求めてください。
 6,7,8,9,…,n

3. 次の数列の和を求めてください。
 5,7,9,11,…,99

答 え











答 え
1.
(1)
【ア】 2n
【イ】
 奇数をNとすると、(n,N)のグラフの傾きは2、
 n=0 のとき、N=1−2=−1 から、
 N=2n−1 ・・・(答)

(2)

 S=1+2+3+…+(n−1)+n  逆に並べる。
 S=n+(n−1)+…+3+2+1  2式をたす。
2S=(1+n)n
 S=n(n+1)/2 ・・・(答)

 S=2+4+6+…+2n  2でわる。
 S/2=1+2+3+…+n  逆に並べる。
 S/2=n+…+3+2+1  2式をたす。
   S=(1+n)n=n(n+1) ・・・(答)
(別解)
 S=2+4+6+…+2n
  =2(1+2+3+…+n)  ,ら、
  =2{n(n+1)/2}
  =n(n+1) ・・・(答)

 S=1+3+5+…+{2(n−1)−1}+(2n−1)
  =1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1)  逆に並べる
 S=(2n−1)+(2n−3)+…+5+3+1  2式をたす。
2S=2n×n
 S=n ・・・(答)

2.
 1,2,3,,…,n を考える。
 S=1+2+3+…+n
 S=n+…+3+2+1
2S=(n+1)n
 S=n(n+1)/2
 6+7+8+…+n
=S−(1+2+3+4+5)
=n(n+1)/2−15=156
 n(n+1)/2=171
 n+n−342=0  342=2×3×3×19=18×19
 (n+19)(n−18)=0
 n>0 から、n=18 ・・・(答)

3.
 1,3,5,7,9,…,99 を考える。
 奇数をNとすると、(n,N)のグラフの傾きは2、
 n=0 のとき、N=1−2=−1 から、N=2n−1
 2n−1=99 から、n=50
 99は50番目の数である。
 S=1+3+5+…+99
 S=99+…+5+3+1
2S=100×50
 S=50=2500
 5+7+9+…+99
=S−(1+3)=2500−4
=2496 ・・・(答)


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