中学から数学だいすき!

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規則性 - 自然数の和2

規則性 >

 自然数、偶数、奇数の和について、規則性の問題を図で解いてみましょう。

練習
1. 次の 銑の計算は、図1〜図3のどの図に相当しますか。
 。院棕押棕魁棕
◆。押棕粥棕供棕
 1+3+5+7
規則性_自然数・偶数・奇数の和

2. 5チームのリーグ戦でサッカーの試合をします。次の(1)〜(4)の問いに答えてください。
(1) 次の 銑の方法で、それぞれ試合数を求めてください。
 〇邱膺瑤蓮∪妓浤儼舛諒佞搬亞兩の総数となる。
 頂点1から引ける線の数は、4本
 重複せずに、頂点2から引ける線の数は、3本
 重複せずに、頂点3から引ける線の数は、…
 このように、重複しない線の数を合計して求める。
規則性_正五角形_線の総数

◆。韻弔猟催世ら引ける線の数に頂点の数をかける。ただし線が重複するので、2で割って求める。

 リーグ戦の試合数を表から求める。

(2) 正 n 角形の辺と対角線の総数から、
 1+2+3+…+(n−1)=n(n−1)/2 を証明してください。

(3) リーグ戦が21試合あるとき、チーム数を求めてください。

(4) 正 n 角形があります。
 ‖亞兩の数を求めてください。
◆‖亞兩の数が54のとき、頂点の数を求めてください。

答 え











答 え
1.
 。院棕押棕魁棕粥瓧粥滷機爍押,ら、図3

◆。押棕粥棕供棕
 =(1+2+3+4)×2=4×5 から、図1

 1++5+ を ¬ 形に並べると、
 1+3+5+7=4 から、図2

2.
(1)
 。粥棕魁棕押棕院瓧隠 (試合) ・・・(答)

◆。韻弔猟催世ら引ける線は、(5−1) 本
 頂点が5つあるので、5(5−1) 本
 重複して線を数えているので、
 5(5-1)/2=10 (試合) ・・・(答)

 (5×5) 試合のうち、同じチームの試合はないので、
 (5−5) 試合
 このうち の半分が重複するので、
 (5−5)/2=10 (試合) ・・・(答)

(2)
 正 n 角形では、頂点1から (n−1) 本線が引ける。
 頂点2から、重複せずに (n−2) 本線が引ける。
 頂点3から、重複せずに (n−3) 本線が引ける。
 このように線を引くと、線の総数は、
  (n-1)+(n-2)+(n−3)+…+3+2+1
 =1+2+3+…+(n−1) ・・・(ア)
 正 n 角形では、1つの頂点から (n−1) 本線が引ける。
 頂点が n あるので、
 線は、n(n−1) 本引ける。
 重複があるので線の総数は、n(n−1)/2 ・・・(イ)
 (ア)と(イ)は等しいので、
 1+2+3+…+(n−1)=n(n−1)/2

(3)
 正 n 角形の辺と対角線のの総数から求める。
 n(n−1)/2=21
  n−n−42=0
 (n+6)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 (チーム) ・・・・(答)

(別解) 表から求める。
 チーム数を n とすると、リーグ戦の表から試合数は、
 (n×n−n)/2=21
  n−n−42=0
 (n+6)(n−7)=0
 n>0 から、n=7 (チーム) ・・・・(答)

4.
 (佞搬亞兩の総数は、n(n−1)/2
 辺の数 n を引くと、対角線の数は、
 n(n−1)/2−n=n(n−3)/2 ・・・(答)

◆。遏複遏檻魁/2=54
 n−3n−108=0  108=2×6×9=12×9
 (n+9)(n−12)=0
 n>0 から、n=12
 頂点の数は、12 ・・・(答)


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