規則性 - レンガの数
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レンガを積む問題を解いてみましょう。
練習
図1〜図3は、レンガが積まれた上部の様子を表しています。1〜3の問いに答えてください。
1. 図1で、最下段のレンガの数が 23 個になるのは何段目ですか。また、そのときのレンガの総数を求めてください。
2. 図2で、レンガが 10 段積まれています。レンガの総数を求めてください。
3. 図3で、レンガの総数が 75 個のとき、最下段は何段目ですか。
答 え
答 え
n 段目までの、レンガの総数をSとする。
1.
S=1+3+5+…+(2n−1)
2n−1=23 n=12
S=1+3+5+…+21+23 逆に並べる。
S=23+21+…+5+3+1 2式を「たす。
2S=24×12
S=122=144
(答) 12段目、144個
2.
S=2+4+6+…+2n n=10 から、
S=2+4+6+…+18+20 逆に並べる。
S=20+18+…+6+4+2 2式を「たす。
2S=22×10
S=110 (個) ・・・(答)
3.
S=1+2+3+4+5+…+n とする。
右辺を逆に並べる。
S=n+…+5+4+3+2+1
2式を「たす。
2S=(n+1)n
S=n(n+1)/2
Sの値は1段目の1個と2段目の2個を含むので、
n(n+1)/2=1+2+75
n2+n−156=0 156=12×13
(n+13)(n−12)=0
n>0 から、n=12
図3では、上部の1個と2個がないので、
最下段は、(n−2) 段目となる。
n−2=12−2=10 (段目) ・・・(答)
レンガを積む問題を解いてみましょう。
練習
図1〜図3は、レンガが積まれた上部の様子を表しています。1〜3の問いに答えてください。
1. 図1で、最下段のレンガの数が 23 個になるのは何段目ですか。また、そのときのレンガの総数を求めてください。
2. 図2で、レンガが 10 段積まれています。レンガの総数を求めてください。
3. 図3で、レンガの総数が 75 個のとき、最下段は何段目ですか。
答 え
答 え
n 段目までの、レンガの総数をSとする。
1.
S=1+3+5+…+(2n−1)
2n−1=23 n=12
S=1+3+5+…+21+23 逆に並べる。
S=23+21+…+5+3+1 2式を「たす。
2S=24×12
S=122=144
(答) 12段目、144個
2.
S=2+4+6+…+2n n=10 から、
S=2+4+6+…+18+20 逆に並べる。
S=20+18+…+6+4+2 2式を「たす。
2S=22×10
S=110 (個) ・・・(答)
3.
S=1+2+3+4+5+…+n とする。
右辺を逆に並べる。
S=n+…+5+4+3+2+1
2式を「たす。
2S=(n+1)n
S=n(n+1)/2
Sの値は1段目の1個と2段目の2個を含むので、
n(n+1)/2=1+2+75
n2+n−156=0 156=12×13
(n+13)(n−12)=0
n>0 から、n=12
最下段は、(n−2) 段目となる。
n−2=12−2=10 (段目) ・・・(答)
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