中学から数学だいすき!

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規則性 - レンガの数

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 レンガを積む問題を解いてみましょう。

練習
 図1〜図3は、レンガが積まれた上部の様子を表しています。1〜3の問いに答えてください。

規則性_れんが積み3種類

1. 図1で、最下段のレンガの数が 23 個になるのは何段目ですか。また、そのときのレンガの総数を求めてください。

2. 図2で、レンガが 10 段積まれています。レンガの総数を求めてください。

3. 図3で、レンガの総数が 75 個のとき、最下段は何段目ですか。

答 え











答 え
 n 段目までの、レンガの総数をSとする。
1.
 S=1+3+5+…+(2n−1)
 2n−1=23  n=12
 S=1+3+5+…+21+23  逆に並べる。
 S=23+21+…+5+3+1  2式を「たす。
2S=24×12
 S=12=144
(答) 12段目、144個

2.
 S=2+4+6+…+2n  n=10 から、
 S=2+4+6+…+18+20  逆に並べる。
 S=20+18+…+6+4+2  2式を「たす。
2S=22×10
 S=110 (個) ・・・(答)

3.
 S=1+2+3+4+5+…+n とする。
 右辺を逆に並べる。
 S=n+…+5+4+3+2+1
 2式を「たす。
2S=(n+1)n
 S=n(n+1)/2
 Sの値は1段目の1個と2段目の2個を含むので、
 n(n+1)/2=1+2+75
 n+n−156=0  156=12×13
 (n+13)(n−12)=0
 n>0 から、n=12
 図3では、上部の1個と2個がないので、
 最下段は、(n−2) 段目となる。
 n−2=12−2=10 (段目) ・・・(答)


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