中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
<< December 2018 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 >>
<< 規則性 - レンガの数 | 最新へ | 規則性 - 表から見つける >>

規則性 - 円の数

規則性 >

 自己相似な図形について、規則性の問題を解いてみましょう。

 全体と部分が相似であることを自己相似といます。また、自己相似な図形をフラクタルといいます。

例題
 円によって自己相似な図形を作図してみましょう。1回目に円をかきます。2回目に、円に内接する合同な2つの小円をかきます。3回目以降は、2回目と同じように作図します。

自己相似な円

1. 5回目の円の総数Sを求めてください。
2. n 回目の円の総数Sをの式で表してください。
3. 円の総数が 511 になるのは何回目ですか。

(解答)
 n 回目の円の総数を調べる。
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2=3=1+2
 n=3: S=1+2+4=7=1+2+2
 n=4: S=1+2+4+8=15=1+2+2+2
 n=5: S=1+2+4+8+16=1+2+2+2+2
   :
 n=n: S=1+2+2+2+…+2n−1

1.
 n=5 のとき、
 S=1+2+4+8+16=31 (個) ・・・(答)

2. 
 S==1+2+2+2+…+2n−1  2をかけると、
2S=     2+2+2+…+2  2式の差から、
 S=2−1 (個) ・・・(答)

3. 2−1=511
 2=512=256×2=16×2=(2×2=2
 よって、n=9 (回目) ・・・(答)

(参考)
 Sの隣りの項との差は 2 で一定にならない。Sは1次関数や2次関数ではない(指数関数になっている)。
回目
15 31
Sの差1 16
Sの差2 16

  規則性_円の数

練習
 ミキさんはマウスを使って、パソコン画面上に大好きなキャラクターの輪郭をかいて模様を作っています。1回目は、大きな円をかきます。2回目は、大きな円に接する2個の小さな円をかきます。3回目は、小さな円2個に接するさらに小さな円4個をかきます。以降、同じようにかいていきます。

 自己相似

1. 6回目の円の個数を求めてください。
2. n 回目の円の個数を n の式で表してください。
3. 円の個数が 255 個になるのは何回目ですか。

答 え











答 え
1.
 円の個数をSとする。
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2=1+2
 n=3: S=1+2+4=1+2+2
 n=4: S=1+2+4+8=1+2+2+2
 n=5: S=1+2+4+8+16=1+2+2+2+2
 n=6: S=1+2+4+8+16+32=1+2+2+2+2+2
   :
 n=n: S=1+2+2+2+2+…+2n−1

 n=6 のとき、
 S=1+2+4+8+16+32=63 (個) ・・・(答)

2、
 n 回目のとき、
 S=1+2+2+2+…+2n−1  2をかけると、
2S=   2+2+2+…+2n−1+2 2式の差から、
 S=2−1 (個) ・・・(答)

3.
 S=2−1=255
 2=256=16=(2=2
 n=8 (回目) ・・・(答)


- | 中学から数学だいすき! 目次 | comments(0) | - | permalink

この記事に対するコメント

コメントする