中学から数学だいすき!

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規則性 - 表から見つける

規則性 >

 表から規則性を見つける方法をまとめます。

表にする
 回目の値Sを
 表にする。
例: 棒の数
 棒の数の規則性
回目の棒の数Sを表にする。
・・・
・・・
表から見つける
 (n,S)の関係か
 ら直接見つける。
例:
・・・
16 ・・・
表から、S=
Sの増加を調べる
→ Sの増加は
  一定
 
例:
・・・
・・・ 1次関数
        定数
 Sは2ずつ増加
→ (n,S)は1次関数
 傾き=2/1=2 で、
 n=0 なら、S=3−2=1 から、
 S=2n+1
Sの増加を調べる
→ Sの増加は
  連続する整数
  連続する偶数
  連続する奇数
例: 
 S=1,2,4,7,・・・  (整数で増加)
 S=1,3,7,13,・・・ (偶数で増加)
 S=2,3,6,11,・・・ (奇数で増加)
 → (n,S)は2次関数
例: 連続する整数で増加
・・・
・・・ 2次関数
差1       ・・・ 1次関数
差2      定数
S=an+bn+c とする。
Sは1,2,3,… と増加しているので、
n=0 のとき、S=1
(n,S)=(0,1)(1,1)(2,2)から
 a,b,c を求める。
 1=c        ・・・
 1=a+b+c    ・・・
 2=4a+2b+c ・・・
,鉢◆А。瓠棕癲瓧
,鉢: 4a+2b=1 b=−a から、
 2a=1  a=1/2
 b=−1/2
よって、S=n/2−n/2+1

練習
 下の表は、正 n 角形の線の総数Sと、対角線の数Nの関係を表したものです。

   対角線の数

角形 ・・・
線の総数S 10 15 ・・・
対角線の数N ・・・

1. 線の総数Sを n の式で表してください。
2.  対角線の数Nを n の式で表してください。
3. 正8角形の対角線は何本ですか。
4. 対角線の数が252本になるのは、正何角形ですか。

答 え











答 え
1. 下の表からSは2次関数なので、
 S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(3,3),(4,6),(5,10) から、
  3=9a+3b+c  ・・・
  6=16a+4b+c ・・・
 10=25a+5b+c ・・・
◆櫚 А。魁瓧沓瓠棕癲 ΑΑΝ
−◆А。粥瓧坑瓠棕癲 ΑΑΝ
ァ櫚ぁА。院瓧横瓠 。瓠瓧/2
ぁА。魁瓧/2+b  b=−1/2
 А。魁瓧/2−3/2+c  c=0
よって、S=n/2−n/2=n(n−1)/2 ・・・(答)

角形 ・・・
線の総数S 10 15 ・・・ 2次関数
Sの差1    3      1次関数
Sの差2         定数

2. 正 n 角形の辺の数は n から、
 N=S−n
  =n(n−1)/2−n
  =(n−3n)/2
  =n(n−3)/2 ・・・(答)

3. N=8(8−3)/2=20 (本) ・・・(答)

4. 正n角形の対角戦の数が252なので、
 n(n−3)/2=252
 n−3n−504=0  504=4×3×7×6=21×24
 (n+21)(n−24)=0
 n>0 から、n=24
(答) 正24角形 ・・・(答)


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