中学から数学だいすき!

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規則性 - 和の計算

規則性 >

 1+2+3+… +n=n(n+1)/2 のように、和で表される式を積の形にする方法をまとめます。

 3つの方法をがありました。
 ・ガウス少年の方法
 ・定数をかけて差とる方法
 ・表を使う方法

ガウス少年の方法
例1:
整数の和_中3
 S=1+2+3+…+(n−1)+n  逆に並べる。
 S=n+(n−1)+…+3+2+1  2式をたす。
2S=(1+n)n
 S=n(n+1)/2
例2:
偶数の和_中3
 S=2+4+6+…+2(n−1)+2n  逆に並べる。
 S=2n+2(n−1)+…+6+6+2  2式をたす。
2S=2(1+n)n
 S=n(n+1)
例3:
奇数の和_中3
 S=1+3+5+…+(2n−3)+(2n−1)  逆に並べる。
 S=(2n−1)+(2n−3)+…+5+3+1  2式をたす。
2S=2n×n
 S=n

定数をかけて差とる方法
例1: 自己相似なミ..キ−マウス
自己相似
 n 回目の円の数をSとする。
 S=1+2+2+2+…+2n−1  2をかける。
2S=   2+2+2+…+2n−1+2 2式の差をとる。
 S=2−1
例2:  自己相似な三角形
フラクタル_三角形   …
 n 回目の逆三角形▼の数をSとする。
 S=1+3+3+3+3+…+3  3をかける。
3S=   3+3+3+3+…+3+3n+1  2式の差をとる。
2S=3n+1−1
 S=(3n+1−1)/2

表を使う方法
例1: 棒の数
棒の数   …
 下の表から、S は傾き3の1次関数で、
 S=3n+b と表せる。
 (n,S)=(1,4) を代入すると、
 4=3+b  b=1
 よって、S=3n+1
10 13 1次関数
33333 33 定数
例2: おはじきの数  S=1+2+3+…+n
おはじきの規則性   …
下の表から、S=an+bn+c とする。
10 15 2次関数
差1 1次関数
差2 2222 定数
 (n,S)=(1,1)、(2,3)、(3,6) を代入すると、
  1=a+b+c   ・・・
  3=4a+2b+c ・・・
  6=9a+3b+c ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕
 −◆А。魁瓧毅瓠棕
 2式の差から、1=2a  a=1/2
 b=2−3a=1/2
  А。磧瓧院檻瓠檻癲瓧
 よって、S=n/2+n/2=n(n+1)/2
例3: だんごの数  S=1+2+3+…+n
2乗の和の問題   …
 S=0+1+2+3+…+n として、
 n=0,1,2,3 … のときのSの値を求める。
14 30 55 3次関数
差1  1  916  25 2次関数
差2 22227  9 1次関数
差3 2  2  2 定数
 表から、Sは3次関数で、
 S=an+bn+cn+d とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14)
 を代入すると、
  0=d
  1=a+b+c+d      ・・・
  5=8a+4b+2c+d   ・・・
 14=27a+9b+3c+d  ・・・
 c を消去する。
◆櫚 滷押А 。魁瓧僑瓠棕横癲  ΑΑΝ
− 滷魁А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 b を消去する。
ァ櫚ぁ滷魁А 。押瓧僑瓠 a=1/3
ぁА。魁瓧押棕横癲 b=1/2
 А。院瓧/2+1/3+c  6倍する。
   6=3+2+6c  c=1/6
 よって、
 S=an+bn+cn+d
  =n/3+n/2+n/6  6倍する。
 6S=2n+3n+n
   =n(2n+3n+1)
   =n(n+1)(2n+1)
 S=n(n+1)(2n+1)/6

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