中学から数学だいすき!

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式の計算 - 多項式2

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 乗法公式を使って、多項式を計算してみましょう。

 次の乗法公式により、多項式の積を和の形に展開できます。展開は、まとまったものを広げることです。
 (x±a)=x±2ax+a  平方の公式
 (x+a)(x−a)=x−a
 和と差の積の公式
 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab@  (x+a)(x+b)の公式
 ±は、「プラスマイナス」と読み、次の2つの式を表しています。
  (x+a)=x+2ax+a
  (x−a)=x−2ax+a

(参考1) 平方の公式を導く。
 (x+a)  x+a=A と置く。
=(x+a)A  分配法則から、
=xA+aA  Aを戻す。
=x(x+a)+a(x+a)
=x+ax+ax+a
=x+2ax+a
 同様に、(x−a)=x−2ax+a

(参考2) 和と差の積の公式を導く。
 (x+a)(x−a)  x+a=A と置く。
=A(x−a)  分配法則から、
=Ax−Aa  Aを戻す。
=(x+a)x−(x+a)a  分配法則から、
=x+ax−ax−a
=x−a

例題1
 ()(X+Y)=X+Y+X+Y を導いてください。

  ()(X+Y)  X+Y=Z と置く。
=(a+b)Z  分配法則から、
=aZ+bZ  Zを戻す。
=a(X+Y)+b(X+Y)  分配法則から、
X+Y+X+

(参考) かけ方を覚える。
 2項×2項 は 4項になる。例題2は、a をXとYにかけ、b をXとYにかけている。
多項式の展開
 乗法公式の (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab も同様に導くことができる。

例題
 (x−4)−(x+2)(x+3) を計算してください。
(愛媛県高)

 (x−4)−(x+2)(x+3)  乗法公式の,鉢から、
=(x−8x+16)−(x+5x+6)  同類項をまとめる。
=−13x+10 ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  (x+5)(x−4) を展開してください。
(徳島県高)
2.  9x−(3x−1)
(熊本県高)
3.  (2a+1)−(a+3)(a−3)
(和歌山県高)
4.  (2x−3)(x+2)−(x−2)(x+3)
(愛知県高)
5.  2022×2016−2019×2018
(大阪教育大附属高 池田)
答 え











答 え
1.  (x+5)(x−4) 乗法公式から、
=x+(5−4)x+5×(−4)
=x+x−20 ・・・(答)
2.  9x−(3x−1)  乗法公式,ら、
=9x−(9x−6x+1)
=6x−1 ・・・(答)
(別解)
 9x−(3x−1)
=(3x)−(3x−1)   2乗の差=和と差の積 から
=(3x+3x−1)(3x−3x+1)
=6x−1 ・・・(答) 
3.  (2a+1)−(a+3)(a−3)  ´△ら、
=(4a+4a+1)−(a−9)
=3a+4a+10 ・・・(答)
4.  (2x−3)(x+2)−(x−2)(x+3)  第1項を順にかける。
=(2x+4x−3x−6)−(x−2)(x+3)  第2項はから、
=(2x+x−6)−(x+x−6)
=x ・・・(答)
6.  2022×2016−2019×2018  例えば、2020=と置く。
=(a+2)(a−4)−(a−1)(a−2)
=(a−2a−8)−(a−3a+2)
=a−10  を戻す。
=2010 ・・・(答)

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