中学から数学だいすき!

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式の計算 - 根号2

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 分母に (根号)を含む式を計算してみましょう。

 分母から根号をなくすことを、分母の有理化といいます。有理化の例を2つ示すので確かめてください。
例1:
 2/3  分母と分子に√3 をかける。
=23/(3)  分母が 3 になる。
=23/3
例2:
 2/(5+3)  (5−3) をかける。
=2(5−3)/{(5+3)(5−3)} 分母が和と差の積
=2(5−3)/{(5)−(3)} =2乗の差
=2(5−3)/2
5−

(参考) 有理化の意味
 中学で習う数には、有理数と無理数があります。根号のついた分母の無理数を、整数の有理数にするので、有理化といいます。
 有理数 (rational number: 理路整然とした数)は、整数や分数で表すことができる数です。
  2
  0.5=1/2
  0.3333…=1/3
  0.121212…=4/33
 無理数(irrational number: 理路整然としていない数)は、分数で表せない数で、2 や
πのように、循環しない小数が無限に続く数です。
  2=1.41421356…
  π=3.1415926535…


 根号内が小数の式は分数にして計算します。
例; 1/√3+√0.666… 
 第2項を分数にする。
   a=0.666… とし、両辺を10倍する。
 10a=6.666… 2式の差をとる。
  9a=6  a=2/3
 よって、
 1/√3+√0.666…
=1/√3+√2/√3
=(1+√2)/√3  分母を有理化する。
=√3(1+√2)/3
=(√3+√6)/3

例題
 18/2−98 を計算してください。
(神奈川県高)

 18/2−98  分母を有理化する。
=182/2−98  根号内を最小化する。
=92−(49×2)
=92−7
=22 ・・・(答)

練習
 次の式を計算してください。
1.  3/5+20/5
(愛知県高)
2.  63+2/7−28
(京都府高)
3.  3/8+14×(7)/3−3
(東京電機大高)
4.  12/4−2/6−48/6+2/
(都立国分寺高)
5.  (2×3×4×5×6)
÷(7×8×9×10)
(明治学院高)
答 え











答 え
1.  3/5+20/5  分母を有理化、根号内を最小化
=35/5+25/5
=55/5
5 ・・・(答)
2.  63+2/7−28  根号内を最小化、分母を有理化
=37+27/7−2
7+27/7  7 で通分
=97/7 ・・・(答) 
3.  3/8+14×(7)/3−32 第1項、第2項を計算
=38/8+72/3−3
=62/8+72/3−3
=32/4+72/3−32  12 で通分
=(92+282−362)/12
2/12 ・・・(答)
4.  12/4−2/6−48/6+2/3 最小化、有理化
=23/4−26/6−43/6+6/3  約分
3/2−6/3−23/3+6/3
3/2−23/3  6で通分
=(33−43)/6
=−3/6 ・・・(答)
6.  (2×3×4×5×6)
÷(7×8×9×10)  根号内を最小化
分子=2×3×2×5×
   =6×2×5×
   =12
分母=7×22×3×10
   =62×7×10
与式=125/(62×7×10)  √5 で約分
   =2/(2×7×2)
   =1/
   =7/7 ・・・(答)

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