中学から数学だいすき!

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式の値−対称式から

式の値 >

 求める式を2数の和と積に変形し、式の値を求めてみましょう。

 x+y や xy で表すことができる式を対称式といい、x と y を交換できます。
例:  x+y=y+x  xy=yx
 1/x+1/y=(x+y)/xy
 x+xy+y=(x+y)−xy
 (a−b)=a−2ab+b=(a+b)−4ab

例題1
 x=6+2、y=6−2 のとき、xy+xy の値を求めてください。
(神奈川県高)

 求める式を変形する。
  xy+xy=xy(x+y)
 条件式から、xy、x+y を求める。
  xy=−2=2
  x+y=2
 求める式を計算する。
  xy(x+y)=2×6=46 ・・・(答)

例題
 x+y=7、x−y=5 のとき、(1)〜(2)の式の値を求めてください。
(1) xy
(2) 1/x+1/y
(3)  y/x+x/y
(同志社高 (2)(3)追加)

(1) 条件式をそれぞれ2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
  4xy=2  xy=1/2 ・・・(答)
(2) 求める式を変形する。
 1/x+1/y
=(x+y)/xy  x+y=7、xy=1/2 から、
=27 ・・・(答)
(3) 求める式を変形する。
 y/x+x/y
=(x+y)/xy
={(x+y)−2xy}/xy
=(x+y)/xy−2  x+y=7、xy=1/2 から、
=7×2−2=12 ・・・(答)
(別解)
 y/x+x/y
=(x+y)/xy
={(x−y)+2xy}/xy
=(x−y)/xy+2  x−y=5、xy=1/2 から、
=5×2+2=12 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x+y=11、x−y=3 のとき、x
(筑波大附属高)
2. x=7+3、y=7−3 のとき、
x/y−y/x
(日大第二高)
3. a=(1+2)/2、b=(1−2)/2 のとき、
3(ab−1)+(a+2)(b+2)
(久留米大附設高)
4. (a+1)(b+1)=7、(a−1)(b−1)=−1 のとき、
(a+2)(b+2)
(城北高)
5. x=(6+3)/2、y=(6−3)/2 のとき、
2xy+2xy−x−y
(早実高等部)
答 え












答 え
1.
 求める式を変形する。
  x=(xy)
 条件式から、xy を求める。
 x+y=11 x−y=3 
 それぞれの式を2乗する。
  x+2xy+y=11
 x−2xy+y=3  2式の差をとる。
 4xy=8  xy=2
 求める式を計算する。
 (xy)=2=32 ・・・(答)
2.
 求める式を変形する。
 x/y−y/x
=(x−y)/xy=(x+y)(x−y)/xy
 条件式から、x+y、x−y、xy を求める。
 x=7+
 y=7−3 から、
  x+y=2
  x−y=2
  xy=7−3=4
 求める式を計算する。
 (x+y)(x−y)/xy
=27×23/4=21 ・・・(答)
(参考)
 x/y−y/x は対称式ではありません。変形すると、(x−y) が含まれるからです。
3.
 求める式を変形する。
 3(ab−1)+(a+2)(b+2)
=3(ab−1)+ab+2(a+b)+4
=4ab+2(a+b)+1
 条件式から、ab、a+b を求める。
 a=(1+2)/2
 b=(1−2)/2 から、
 ab=(1−2)/4=−1/4
 a+b=1
 求める式を計算する。
 4ab+2(a+b)+1
=−1+2+1=2 ・・・(答)
4.
 求める式を変形する。
 (a+2)(b+2)
=ab+2(a+b)+4
 条件式から、ab、a+b を求める。
 ab+(a+b)+1=7
  ab+(a+b)=6  ・・・
 ab−(a+b)+1=−1
  ab−(a+b)=−2 ・・・
 椨◆А。横瓧癲瓧粥 。瓧癲瓧
 櫚◆А。押複瓠棕癲法瓧検 。瓠棕癲瓧
 求める式を計算する。
 ab+2(a+b)+4
=2+2×4+4=14 ・・・(答)
5.
 求める式を変形する。
  2xy+2xy−x−y
=2xy(x+y)−(x+y)  共通因数でくくる。
=(x+y)(2xy−1)
 条件式から、x+y、xy を求める。
 x=(6+3)/2
 y=(6−3)/2 から、
 x+y=
 xy=(6−3)/4=3/4
 求める式を計算する。
 (x+y)(2xy−1)
6(3/2−1)=6/2 ・・・(答)

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