中学から数学だいすき!

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式の値−因数分解を利用

式の値 >

 因数分解を使って、式の値を求めてみましょう。

 因数分解の方法には、共通因数をくくる(=まとめる)、和と差の積にする、和か差の2乗にする、係数を分解する、最低字数順にする、があります。

 共通因数をくくる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

 因数分解を使って、計算をしやすくしましょう。例題1は、条件式を因数分解しています。例題2は、求める式を因数分解しています。

例題1
 x=3、y=2 のとき、(x+y)−(x−y) の値を求めてください。
(茨木県高)

 (x+y)−(x−y)  2乗の差=和と差の積 から、
=(c+y+x−y)(x+y−x+y)
=2x×2y
=4xy  x、y を代入する。
=46 ・・・(答)

例題
 x=1+23、y=−1+3 のとき、x−xy−2y の値を求めてください。
(都立立川高)

 x−xy−2y  係数を分解して因数分解する。
=(x+y)(x−2y)  x、y を代入する。
=33(1+23+2−23)
=93 ・・・(答)
×  y  xy
−2y −2xy
−2 −xy

練習
 式の値を求めてください。
1. x=7−2、y=3−22 のとき、x−xy+3x
(国立高専)
2. a=(1+3+5)/2、b=(−1+3−5)/2 のとき、
−b
(都立新宿高)
3. x=121、y=131 のとき、x−xy−2x+2y
(慶應義塾高高)
4. x=22−3、y=−2+23 のとき、
2x+5xy+2y
(東大寺学園高)
5. x=2−2、y=2 のとき、xy/2+xy
(日大第三高)
答 え












答 え
1.
 x=7−2、y=3−22 のとき、
 x−xy+3x  共通因数 x をくくる。
=x(x−y+3)  x、y を代入する。
=(7−2)(7−2−3+22+3)
=(7−2)(7+2)  2乗の差にする。

=5 ・・・(答)
2.
 a=(1+3+5)/2、
 b=(−1+3−5)/2
 a−b  2乗の差=和と差の積 から、
=(a+b)(a−b)  a、b を代入する。
3(1+5)
3+15 ・・・(答)
3.
 x=121、y=131 のとき、
 x−xy−2x+2y  共通因数 x と2をくくる。
=x(x−y)−2(x−y)  共通因数 (x−y) をくくる。
=(x−y)(x−2)  x、y を代入する。
=−10×119
=−1190 ・・・(答)
(別解)
 x−xy−2x+2y  最低次数 y の順に整理する。
=(2−x)y+x−2x  共通因数 x をくくる。
=(2−x)y+x(x−2)  共通因数 (2−x) をくくる。
=(2−x)(y−x)
=−119×10=−1190 ・・・(答)
4.
 x=22−3、y=−2+23 のとき、
 2x+5xy+2y  係数を分解して因数分解する。
=(2x+y)(x+2y)  x、y を代入する。
=(42−23−2+23)
 ×(22−3−22+43)  順にかける。
=32×3
=96 ・・・(答)
×  2y  4xy
2x   y  xy
2x 5xy
(別解) 対称式から求める
 2x+5xy+2y
=2(x+y)+xy  x、y を代入する。
=2(2+3)+(22−3)(−2+23)
=(10+46)+(−4+46+6−6)
=96 ・・・(答)
5.
 x=2−2、y=2 のとき、
 xy/2+xy  共通因数 xy をくくる。
=xy(x+2)/2  x、y を代入する。
=(2−22)×2/2
=(1−2)×
2−2 ・・・(答)

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