中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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式の値−方程式から

式の値 >

 連立方程式や2次方程式から、式の値を求めてみましょう。

例題1
 x+y=7、x−y=5 のとき、xy の値を求めてください。
(同志社高)

 各式を2乗する。
 x+2xy+y=7
 x−2xy+y=5  2式の差をとる。
 4xy=2
 xy=1/2 ・・・(答)

例題
 x−x−3=0 の解を a、b (a>b) とするとき、a−b の値を求めてください。
(土浦日大高)

 x−x−3=0  解の公式から、
 x={1±(1+12)}/2
  =(1±13)/2
 a−b
=(1+13)/2−(1−13)/2=13 ・・・(答)
(別解) 係数を比較する
 2次方程式の解が a、b なので、
 x−x−3=(x−a)(x−b)=x−(a+b)x+ab
 係数を比較すると、
 a+b=1 ab=−3
 求める式は、
 (a−b)=(a+b)−4ab=1+12=13
 a>b から、a−b=13 ・・・(答)

練習
 式の値を求めてください。
1. x+y=4、x−y=2 のとき、 x+y
(成城高)
2. x+y=5、x−y=3 のとき、x/y−y/x
(大阪星工学院高)
3. −5x+1=0 のとき、
(1) x+1/x  (2) x+1/x  (3) x+1/x
(同上 (1)(3)追加)
4. a+b−3ab=5、2a+2b+ab=3 のとき、a+b
(明治大付属明治高)
5. 3x−5x+1=0 の2つの解を a,b(a>b)
とするとき、 a−b
(豊島岡女子学園高)
答 え












答 え
1.
 x+y=4、x−y=2 のとき、
 各式を2乗する。
 x+2xy+y=16
 x−2xy+y=2  2式の差をとる。
 4xy=14  xy=7/2
 求める式は、
 x+y=(x+y)−2xy=16−7=9 ・・・(答)
2.
 x+y=5、x−y=3 のとき、
 x/y−y/x=(x−y)/xy=(x+y)(x−y)/xy ・・・
 条件の各式を2乗すると、
 x+2xy+y=5
 x−2xy+y=3  2式の差をとる。
 4xy=2  xy=1/2
 よって,蓮
 (x+y)(x−y)/xy
5×3×2=215 ・・・(答)
3.
(1)
 x−5x+1=0 x≠0 なので、x でわる。
 x−5+1/x=0
 x+1/x=5 ・・・(答)
(2)
 x+1/x=5 のとき、
 x+1/x
=(x+1/x)−2=25−2=23 ・・・(答)
(3)
 x+1/x
=(x+1/x−2
=23−2=527 ・・・(答)
4.
 a+b−3ab=5、2a+2b+ab=3 から、
 a+b=x、ab=y と置くと、
 x−3y=5
 2x+y=3 から、6x+3y=9
2式の和: 7x=14  x=2
 y=3−2x=−1
 よって求める式は、
 a+b
=(a+b)−2ab=x−2y=4+2=6 ・・・(答)
5.
 3x−5x+1=0 の2つの解が a、b (a>b) から、
 x−(5/3)x+1/3=(x−a)(x−b)
=x−(a+b)x+ab  係数を比較すると、
 a+b5/3  ab=1/3
 (a−b)=(a+b)−4ab=25/9−4/3=13/9
 a>b から、a−b=√13/3
 よって求める式は、
 a−b
=(a+b)(a−b)
=(5/3)×√13/3=5√13/9 ・・・(答)

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