中学から数学だいすき!

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因数分解…用途

因数分解の応用 >

 「因数分解の応用」では、因数分解の方法を学習し、応用問題を解いていきます。

 因数分解は、多項式の和の形を積の形にすることです。

 次の例を見てください。和から積に因数分解されています。逆に、積から和への展開は、乗法公式にしたがっていることが分かります。
和の形 積の形 乗法公式
 x−4 =(x+2)(x−2)  和と差の積
 x+2x+1 =(x+1)  和の平方
 x+3x+2 =(x+1)(x+2)  (x+a)(x+b)

(参考) 多項式 x+3x+2
 x、3x、2 を
単項式といい、単項式をたした式を多項式といいます。
単項式 単項式 単項式
多項式 3x
1項 2項 3項
 それぞれの単項式を多項式の項といい、この多項式は3つの項からできています。もし、3項目が 2x なら、2項目と同じ x からなるので、3x と 2x を同類項といいます。

 因数分解の用途を示すので確認してください。因数分解の方法は、次回から学習します。
用途の例 問題 因数分解
 式の値を求める  x=2+1、y=2−1 
 のとき、 x
−y の値
 x−y
=(x+y)(x−y)
 2次方程式を解く  x−3x+2=0  (x−1)(x−2)=0
 自然数を求める  連続する2つの自然数の積
  が132のとき、小さい数 n
 n(n+1)=132
 (n+12)(n−11)=0
 長さを求める  長方形の縦が x、横が
 (x+2) 、面積が 48
 x(x+2)=48
 (x+8)(x−6)=0
 交点を求める  y=2x と  y=x+1
 の交点の x 座標
 2x=x+1
 (2x+1)(x−1)=0

練習
 用途の例に書かれている因数分解を使って、問題1〜6の値を求めてください。
 なお、(x−a)(x−b)=0 のとき、 x=a,b (x=a または、x=b) となります。
1.  x=2+1、y=2−1 のとき、x−y の値
2.  x−3x+2=0 x の値
3.  連続する2つの自然数の積が132のとき、小さい数 n の値
4.  長方形の縦の長さが x、横の長さが(x+2) 、面積が 48のとき、縦の長さ x
5.  放物線 y=2x と、直線 y=x+1 の交点の x 座標

答 え












答 え
1.
 x=2+1、y=2−1 のとき、
 x−y
=(x+y)(x−y)
=22×2=42 ・・・(答)
2.
 x−3x+2=0
 (x−1)(x−2)=0
 x=1,2 ・・・(答)
3.
 n(n+1)=132
 (n+12)(n−11)=0
 n=−12,11
 n は自然数なので、n=11 ・・・(答)
4.
 x(x+2)48
 x+2x−48=0
 (x+8)(x−6)=0
 x=−8,6
 x>0 から、x=6 ・・・(答)
5.
 2x=x+1
 2x−x−1=0
 (2x+1)(x−1)=0
 x=−1/2,1 ・・・(答)

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