中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
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因数分解…方法1

因数分解の応用 >

 因数分解の方法を学習します。

 因数は要素 (factor) のことなので、因数分解は要素に分けるという意味です。自然数の例と多項式の例を見てみましょう。

例: 自然数 15=3×5 なので、15は3と5の素数の積に分解できます。これを素因数分解といいます。

例: 多項式 x−y=(x+y)(x−y) なので、(x+y)と(x−y)の積に分解できます。これを因数分解といいます。

 共通因数は、多項式の項に含まれる共通の要素で、共通因数をまとめることで、因数分解ができます。
例: 2x−2  共通因数の2でまとめる。
  =2(x−1)   2乗の差=和と差の積 から、
  =2(x+1)(x−1)

 因数分解の方法と例を示します。
因数分解の方法  因数分解の例
 共通因数をまとめる   2xy+4y=2y(x+2)
 和と差の積にする   4x−9
=(2x)−3
=(2x+3)(2x−3)
 和か差の2乗にする@  x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
 係数を分解する  係数で因数分解
 最低次数順にする   xy−2x−y+2  y の次数順にする。
=(x−1)y−2(x−1)
=(x−1)(y−2)
=(x+1)(x−1)(y−2)

 和か差の2乗にする因数分解は、次の公式によります。
 x+2xy+y=(x+y)
 x−2xy+y=(x−y)
例: x+6x+9=+6x+3=(x+3)
  この例で、6の半分の2乗が9になっています。

練習
 共通因数をまとめる、和と差の積にする、和か差の2乗にする、によって、次の多項式を因数分解してください。
1. 6x−24
(三重県高)
2. 9x−6x+1
(和洋国府台女子高)
3. −4(a+1)+(a+1)
(立命館高)
4. (x+3)(x−2)+2−x
(都立産業技術高専)
5. (x−3)+(x+3)(x−3)+3x
(洛南高)
答 え












答 え
1.  6x−24  共通因数6でまとめる。
=6(x−4)  和と差の積にする。
=6((x+2)(x−2) ・・・(答)
2.  9x−6x+1  x−2xy+y=(x−y) から、
=(3x−1) ・・・(答)
3.  −4(a+1)+(a+1)  共通因数をまとめる。
=(a+1){(a+1)−4}  和と差の積にする。
=(a+1)(a+1+2)(a+1−2)
=(a+1)(a+3)(a−1) ・・・(答) 
4.  (x+3)(x−2)+2−x  式を展開する。
=x+x−6+2−x
=x−4
=(x+2)(x−2) ・・・(答)
5.  (x−3)+(x+3)(x−3)+3x  式を展開する。
=x−6x+9+x−9+3x  同類項をまとめる。
=2x−3x  共通因数でまとめる。
=x(2x−3) ・・・(答)

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