中学から数学だいすき!

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因数分解…自然数1

因数分解の応用 >

 2次方程式をつくり、自然数を求めてみましょう。

例題1
 2つの自然数があります。2数の和が23、積が132のとき、2数の差の絶対値を求めてください。

 2数の和が23、積が132から、2数は次の2次方程式の解となる。
 n−23n+132=0  132=(−11)×(−12) から、
 (n−11)(n−12)=0
 n=11,12
 2数の差の絶対値は、数直線上で、11と12の距離なので、
 12−11=1 ・・・(答)

例題2
 連続する2つの自然数があります。2数の積が756のとき、2つの数を求めてください。

 n(n+1)=756
 n+n−756=0
 756=2×3×7 から、2数の積が−756、和が1 となる2数を見つけることは、組合せが多く難しい。そこで、不等式を利用して2数を求める。
 <n(n+1)<(n+1)
 27=729<756<(27+1)=784
 よって、n=27、n+1=28
(答) 27,28

(参考) 756に近い平方数の見つけ方
15,25,35 … ,95 の暗算
十の位の数に1をたして掛け、25をつける。
(10n+5)=100n+100n+25=100n(n+1)+25
 =(× 2×100+25= 25
 =(× 3×100+25= 25
 =(× 4×100+25=1225
 =(× 5×100+25=2025
 =(× 6×100+25=3025
 =(× 7×100+25=4225
 =(× 8×100+25=5625
 =(× 9×100+25=7225
 =(×10×100+25=9025
 25=625 で、756に近いことが分かる。

練習
 自然数を求めてください。
1.  ある正の整数を2乗した数は、もとの数に6を加えて8倍した数と等しい。もとの数を求めてください。
(和洋国府台女子高)
2.  連続する2つの偶数の積が3248のとき、2つの数を求めてください。ただし、2つの数は正とします。

3.  連続する3つの自然数があります。最大の数の2乗は、他の数の2乗の和より12だけ小さいとき、3つの数のうち最大のものを求めてください。
(城北高)
4.  連続する3の倍数が3つあります。最小の数と最大の数の積は、中央の数の8倍です。3つの数の和を求めてください。

5.  正の約数の個数が3個で、その約数の総和が381であるような自然数を求めてください。
(ラ・サール高)
答 え












答 え
1.  もとの数を n とすると、
 n=8(n+6)
 n−8n−48=0  −48=4×(−12) から、
 (n+4)(n−12)=0
 n=−4,12
 n>0 から、n=12 ・・・(答)
2.  小さい数を 2n とすると、
 大きい数は 2(n+1)=2n+2
 2n(2n+2)=3248
 n(n+1)=3248/4=812
 <n(n+1)<(n+1)  
 28<812<(28+1)=841 から、
 n=28
 2n=56 2n+2=58
 (答) 56,58
3.  最大の自然数を n とすると、
 n=(n−2)+(n−1)−12
 n=2n−6n+5−12
 n−6n−7=0  −7=1×(−7) から、
 (n+1)(n−7)=0
 n>0 なので、n=7 ・・・(答)
4.  n を3の倍数の中央の数とすると、
 (n−3)(n+3)=8n
 n−8n−9=0  −9=1×(−9) から、
  (n+1)(n−9)=0
  n は3の倍数なので、n=9
  n−3=6  n+3=12
 3つの数の和は、
  6+9+12=27 ・・・(答)
5.  自然数が n のとき、n の約数は、1,n,n から3個となる。
 1+n+n=381
 n+n−380=0  −380=20×(−19) から、
 (n+20)(n−19)=0
 n>0 から、n=19
 n=19=361 ・・・(答)
(参考) 約数の個数
 2の約数…1,2,2 (3個)
 2の約数…1,2,2,2 (4個)
 2の約数…1,2,2,2,2 (5個)

(参考) 連続する整数の表し方 (n: 整数)
 3つの整数: n−1,n,n+1
 5つの整数: n−2,n−1,n,n+1,n+2
 3つの偶数: 2(n−1),2n,2(n+1) ← 0は偶数
 3つの奇数: 2n−1,2n+1,2n+3
 3つの3の倍数: 3n,3(n+1),3(n+2)

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