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因数分解…自然数2

因数分解の応用 >

 2次方程式を (x の1次式)((x の1次式)=0 の形に因数分解できると、x が求まります。これから、(x の1次式)(y の1次式)=定数 の式から、自然数 (x,y) の組を求めてみましょう。

例題1
 xy−x−y−3=0 を満たす自然数 (x、y) の組を求めてください。

 (xの式)(yの式)=定数 となるように因数分解する。
 x で式を整理する。
 x(y−1)−y=3  1をたす。
 x(y−1)−(y−1)=3+1  共通因数をまとめる。
 (x−1)(y−1)=4
 (x−1) と (y−1) は自然数なので、
 (x−1,y−1)=(1,4),(2,2),(4,1)
 (x,y)=(2,5),(3,3),(5,2) ・・・(答)

例題2
 2つの素数 a 、 b について、積 ab の正の約数の和が32となるとき、 積 ab の値を求めてください。

 積 ab の正の約数は、1、a、b、ab から、
 1+a+b+ab=32  b で式を整理する。
 1+a+b(1+a)=32  共通因数をまとめる。
 (a+1)(b+1)=32  積の組合せは、
 (a+1,b+1)=(1,32),(2,16),(4,8)
 (a,b)=(0,31),(1,15),(3,7)
 (a,b)は素数なので、(a,b)=(3,7)
 よって、ab=3×7=21 ・・・(答)

(参考) 整数・自然数・素数など
整数  0 ±1 ±2 …  0 と、0 に±1ずつ足した数
偶数   ±2 ±4 …  2で割り切れる数
奇数  ±1 ±3 ±5 …  偶数でない整数
3の倍数  ±3 ±6 ±9 …  3で割り切れる数
自然数  1 2 3 4 …  正の整数
素数  2 3 5 7 …  1かその数でないと割り切れない数@

例題3
 n+96 の平方根が整数になる自然数 n を全て求めてください。

(解法の手順)
(n+96)=N とする。
+96=N から、(N+n)(N−n)=96
N+n=a、N−n=b とする。
  ab=96 となる (a,b) を見つける。
N+n=a
  N−n=b から、n を求める。

(n+96)=N とする。
  Nは自然数で、N>n
+96=N から、
 N−n=96
 (N+n)(N−n)=96
N+n=a、N−n=b とする。
 a、b は自然数で、a>b
 ab=96 となる (a,b) を見つけるために、96を素因数分解する。
 96=2×3=2×6=2×12=2×24=2×48=2×96
 (a,b)=(32,3) (16,6) (12,8) (24,4) (48,2) (96,1)
N+n=a
  N−n=b から、n=(a−b)/2
  (a,b) から n を求める。
  (32,3): n=29/2 不適
  (16,6): n=5
  (12,8):、n=2
  (24,4): n=10
  (48,2): n=23
  (96,1): n=95/2 不適
(答) n=2,,5,10,23

練習
 自然数を求めてください。
1. xy+3y−12=0 となる自然数 (x、y) の組を求めてください。
(大分県高)
2. xy+3x−2y=0 を満たす自然数の組 (x,y) を求めてください。
(海城高)
3. =y+12 を満たす自然数の組 (x,y) を求めてください。
(市川高)
4. −y=400 を満たす正の奇数 (x、y) の組を求めてください。
(大阪府高)
5. 2つの素数 a 、 b について、積 ab の正の約数の和が112となるとき、 ab の値を求めてください。
(筑波大附属高)
答 え












答 え
1.  (xの式)(yの式)=定数 に変形する。
 xy+3y−12=0  共通因数をまとめる。
 (x+3)y=12
 x+3≧4 から、
 (x+3,y)=(4,3),(6,2),(12,1)
 (x,y)=(1,3),(3,2),(9,1) ・・・(答)
2.  (xの式)(yの式)=定数 に変形する。
 xy+3x−2y=0  x で式を整理する。
 x(y+3)−2y=0  両辺から6をひく。
 x(y+3)−2(y+3)=−6  共通因数をまとめる。
 (x−2)(y+3)=−6
 (2−x)(y+3)=6 ・・・
 y+3>0 なので、2−x>0 よって、x<2
 0<x<2 なので、x=1
 ,ら、y+3=6 よって、y=3
(答) (x,y)=(1,3)
3.  x=y+12 (x,y)は自然数
 (x+y)(x−y)=12
  x+y=a  x−y=b とすると、
  ab=12 (a>b) ・・・
  x=(a+b)/2  y=(a−b)/2 ・・・
 ´△鯔たす a , b を求める。
 ab=12=1×12 ,2×6 ,3×
 a>b から、
 (a,b)=(4,3)  x=7/2 (不適)
 (a,b)=(6,2)  x=4 y=2
 (a,b)=(12,1) x=13/2 (不適)
(答) (x,y)=(4,2)
4.  (x+y)(x−y)=400
 x+y と x−y は正の偶数なので、
 x+y=2a、x−y=2b とする。
 2a×2b=400
 ab=100 a>b から、
 (a,b)=(100,1),(50,2),(25,4),(20,5)
 x+y=2a、x−y=2b から、
 x=a+b、y=a−b
 (x,y)=(101,99),(52,48),(29,21),(25,15)
 このうち、(52,48)は奇数でなので不適
(答) (x,y)=(101,99),(29,21),(25,15)
5.  積 ab の正の約数は、1、a、b、ab から、
 1+a+b+ab=112  左辺を因数分解すると、
 (a+1)(b+1)=7×  積の組合せは、
 (a+1,b+1)=(7,16),(14,8),(28,4),(56,2),(112,1)
 (a,b)=(6,15),(13,7),(27,3),(55,1),(111,0)
 (a,b)は素数なので、(a,b)=(13,7)
 よって、ab=13×7=91 ・・・(答)

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