中学から数学だいすき!

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因数分解…解の公式

因数分解の応用 >

 x の2次式を、解の公式を用いて因数分解してみましょう。係数を分解し、たすきがけによる因数分解が難しいときに使えます。

 これから、ax+bx+c を平方完成によって因数分解します。
 ax+bx+c
=a{x+(b/a)x+c/a}  x の係数の半分の2乗をたして、ひく。
=a{x+(b/a)x+(b/2a)−(b/2a)+c/a}  ← b/2a=b÷2a
=a{(x+b/2a)−(b−4ac)/(2a)
=a〔{x+(b/2a)}−{(b−4ac)/2a}〕  和と差の積にする。
=a{x+b/2a+(b−4ac)/2a}{x+b/2a−(b−4ac)/2a}
=a〔x+{b+(b−4ac)}/2a}〕〔x+{b−(b−4ac)}/2a}〕
  ・・・
 ax+bx+c=0 の解が p,q のとき、
 a(x−p)(x−q)=0 から、
 ax+bx+c=(x−p)(x−q) と因数分解できます。
 ,ら、p={−b−(b−4ac)}/2a
      q={−b+(b−4ac)}/2a
 x=p,q は、2次方程式の解の公式と同じです。
(解の公式)
 2次方程式が ax+bx+c=0 のとき、
 x={−b±(b−4ac)}/2a
 したがって、解の公式によって因数分解ができます。

例題1
 x−x−600 を因数分解してください。

 x−x−600=0 とする。
 解の公式から、
 x={1±(1+4×600)}/2
  =(1±2401)/2
 45=2025<2401<50=2500  ← 45暗算
 一の位が1から、49=2401
 x=(1±49)/2
 x=25,−24
 因数分解は、
 x−x−600=(x−25)(x+24) ・・・(答)

例題2
 x+6x−391 を因数分解してください。

 x+6x−391=0 とする。
 解の公式から、
 x={−6±(6+4×391)}/2  2でわる。
  =−3±(9+391)
  =−3±20
 x=−23,17
 x+6x−391=(x+23)(x−17)

(別解) x の係数が偶数のとき
 平方完成で因数分解でき、計算しやすい。
 x+6x−391
={x+6x+(6/2)}−(6/2)−391
=(x+3)−400
=(x+3)−20  和と差の積にする。
=(x+3+20)(x+3−20)
=(x+23)(x−17) ・・・(答)

例題3
 6x−5x−221 を因数分解してください。

 6x−5x−221=0 とする。
 解の公式から、
 x={5±(5+(4×6×221)}/(2×6)
  =(5±5329)/12
 70<5329<75 一の位が9から、73=5329
 x=(5±73)/12
 x=78/12=13/2 または x=−68/12=−17/3
 因数分解は、
 6x−5x−221
(x−13/2)(x+17/3)  6=2×3 から、
=(2x−13)(3x+17) ・・・(答)

練習
 因数分解してください。
1. −11x−432
2. +2x−899
3. 10x+3x−27
4. +100x−3125
5. 6x+x−187
答 え












答 え
1.  x−11x−432=0 とする。
 解の公式から、
 x={11±(11+4×432)}/2
  =(11±1849)/2
 40=1600<1849<45=2025
 一の位が9なので、43=1849
 x=(11±43)/2
 x=54/2=27 または x=−32/2=−16
 因数分解は、
 x−11x−432=(x−27)(x+16) ・・・(答)
2.  x+2x−899  平方完成する。
=(x+2x+1)−1−899
=(x+1)−30  和と差の積にする。
=(x+1+30)(x+1−30)
=(x+31)(x−29) ・・・(答)
3.  10x+3x−27=0
 x={−3±(3+4×10×27)}/(2×10)
  ={−3±(9+1080)}/20
  =(−3±1089)/20
 30=900<1089<35=1225
 一の位が9なので、33=1089
 x=(−3±33)/20
 x=30/20=3/2 または x=−36/20=−9/5
 因数分解は、
 10x+3x−27
10(x−3/2)(x+9/5)  10=2×5 から、
=(2x−3)(5x+9) ・・・(答)
4.  x+100x−3125  平方完成する。
=(x+100x+50)−50−3125
=(x+50)−(2500+3125)
=(x+50)−5625  75=5625 から、
=(x+50)−75  和と差の積にする。
=(x+50+75)(x+50−75)
=(x+125)(x−25) ・・・(答) 
5.  6x+x−187=0
 x={−1±(1+(4×6×187)}/(2×6)
  ={−1±(1+4488)}/12
  =(−1±4489)/12
 65=4225<4489<70=4900
 一の位が9なので、67=4489
 x=(−1±67)/12
 x=66/12=11/2 または x=−68/12=−17/3
 因数分解は、
 6x+x−187
(x−11/2)(x+17/3)  6=2×3 から、
=(2x−11)(3x+17) ・・・(答)

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