中学から数学だいすき!

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因数分解…規則性

因数分解の応用 >

 図形の規則性を式で表し、問題を解いてみましょう。

例題
 図のように、おはじきが並んでいます。
(1) n 回目の個数をNとするとき、N を n の式で表してください。
(2) Nが435のとき、n を求めてください。
  おはじきの規則性
(1)
 n=1: N=1
 n=2: N=1+2
 n=3: N=1+2+3
  :
 n=n: N=1+2+3+…+(n−1)+n  逆に並べる
       N=n+(n−1)+…+3+2+1  2式をたす。
     2N=(n+1)+(n+1)+…(n+1)
       =(n+1)n
 N=n(n+1)/2 ・・・(答)

(2)
(解答) 素因数分解で解く
 n(n+1)/2=435
 n+n−870=0  870=2×3×5×29=30×29 から、
 (n+30)(n−29)=0
 n>0 から、n=29 ・・・(答)

(別解1) 連続する自然数で解く
 n(n+1)=870
 n<n(n+1)<(n+1)  25=625 から、
 25=625<870<30=900
 一の位が0になるのは、29(29+1)=870
 よって、n=29 ・・・(答)

(別解2) 解の公式で解く
 n+n−870=0
 n={−1±(1+4×870)}/2
  =(−1±3481)/2
 55=3025<3481<60=3600
 一の位が1から、59=3481
 n=(−1±59)/2
 n>0 から、n=58/2=29 ・・・(答)

練習
 問題1〜5のそれぞれの図で、
(1) n 回目の個数をNとするとき、Nを n の式で表してください。
(2) 指定されたNの値になる n を求めてください。
1.  ご石を並べます。
(1) n 回目の、白と黒をあわせたご石の個数N
(2) N=1444
  ご石の規則性

2.  タイルを並べます。
(1) n 回目のタイルの数N
(2) N=600
  タイルの規則性

3.  例えば、正五角形の対角線の数は、線の総数から辺の数をひいた数です。
 線の総数は、各頂点から重複せずに結んだ線の合計なので、4+3+2+1=10 です。
 対角線の数は、10−5=5 となります。
(1) 正 n 角形の線の対角線の数N
(2) N=252
  因数分解_正n角形の対角線数

4.  つまようじを並べて三角形をつくります。
(1) n 回目のつまようじの数N
(2) N=108
  つまようじの数

5. A 図1のようにレンガが積まれています。
(1) n 段目のれんがの個数N
(2) N=289

  因数分解_れんがの規則性

B 図2のようにレンガが積まれています。
(1) n 段目のれんがの個数N
(2) N=156
答 え












答 え
1. (1)
 正方形の個数から、
 N=(n+1) ・・・(答)
(2)
 (n+1)=1444
 35=1225<1444<40=1600
 一の位が4から、38=1444
 (n+1)=38
 n+1=±38
 n+1>0 から、
 n=37 ・・・(答)

2. (1)
 タイルの数=縦の数×横の数 から、
 N=n(n+1) ・・・(答)
(2)
 n(n+1)=600
 n<n(n+1)<(n+1)
 20=400<600<25=625
 一の位が0から、24×25=600
 よって、n=24 ・・・(答)

3. (1)
 正 n 角形の線の総数をSとすると、
 S=(n−1)+(n−2)+・・・+2+1
 S=1+2+・・・+(n−2)+(n−1)
2S=(n−1)n
 S=n(n−1)/2
 対角線の数は、
 N=n(n−1)/2−n
  =(n−n−2n)/2
  =n(n−3)/2 ・・・(答)
(2)
 n(n−3)/2=252
 n−3n−504=0
 504=2×3×7 素因数分解は組合せが多い。
 解の公式から、
 n={3±(9+4×504)}/2
  =(3±2025)/2  2025=45 から、
  =(3±45)/2
 n>0 から、n=48/2=24 ・・・(答)

4. (1)
 下の段の三角形が増えている。
 三角形の数をSとすると、
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2
 n=3: S=1+2+3
  :
 n=n: S=1+2+3+…+n
      S=n+(n−1)+…+2+1
 2S=(n+1)n
  S=n(n+1)/2
 三角形は3本のつまようじからなるので、
 N=3n(n+1)/2 ・・・(答)
(2)
 3n(n+1)/2=108
 n(n+1)=72
 n<n(n+1)<(n+1)
 8=64<72<9=81
 8×9=72 から、n=8 ・・・(答)

5.
(1)
 n=1: N=1
 n=2: N=1+3
 n=3: N=1+3+5
  :
 n=n: N=1+3+5+…+(2n−1)
      N=(2n−1)+…+5+3+1
 2N=2n×n
  N=n ・・・(答)
(2)
 n=289
 15=225<289<20=400
 一の位が9なので、17=289
 n=17 ・・・(答)

(1) 
 n=1: N=2
 n=2: N=2+4
 n=3: N=2+4+6
  :
 n=n: N=2+4+6+…+2n
      N=2n+…+6+4+2
 2N=2(n+1)n
  N=n(n+1) ・・・(答)
(2)
 n(n+1)=156
 n+n−156=0  156=3×4×13
 (n+13)(n−12)=0
 n>0 から、n=12 ・・・(答)

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