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因数分解…交点の座標

因数分解の応用 >

 因数分解によって、交点の座標を求めてみましょう。

例題
放物線 y=2x と、直線 y=3x-1 の交点の座標を求めてください。
  因数分解_例題グラフ
 交点を (x,y) とすると、(x,y) はそれぞれの式を満たす。
  y=2x
  y=3x−1
 2式から、2x=3x−1
  2x−3x+1=0  因数分解する。
  (2x−1)(x−1)=0  x=1/2,1
  x=1/2: y=2x=1/2
  x=1:   y=2x=2
(答) (1/2,1/2) (1,2)

(参考) 直線・双曲線・放物線のグラフ

練習
1. 放物線 y=−3x と、直線 y=x−2 の交点の座標を求めてください。
2. 双曲線 y=10/x と、直線 y=2x−1 において、
(1) 交点の座標を求めてください。
(2) 2つの交点を結ぶ線分の長さを求めてください。
  双曲線と直線の交点

(参考) 三平方の定理
 直角三角形の斜辺の長さが a 、他の2辺の長さが b、c のとき、a=b+c
3. 放物線 y=x/4 と、直線 y=x+3 において、
(1) 交点の座標を求めてください。
(2) 2つの交点と原点を結んでできる三角形の面積を求めてください。
4. 放物線 y=x/2 上に2点A、Bがあり、それぞれの x 座標は正です。点Aを中心とする円Aと、点Bを中心とする円Bは、x 軸、y 軸、x 軸に平行な直線Lに接しています。
(1) 点Aの座標を求めてください。
(2) 円Bの半径を求めてください。
  因数分解_練習グラフ4
5. 2次関数 y=x−6x+8 のグラフは、上に開く放物線です。
(1) 放物線と y 軸の交点の座標を求めてください。
(2) 放物線と x 軸の交点の座標を求めてください。
(3) x 軸の交点の座標の中点では、放物線が最小値となります。最小値となる点の座標を求めてください。
(4) 放物線の概略のブラフをかいてください。
答 え












答 え
1.  y=−3x
 y=x−2 から、
 −3x=x−2
 3x+x−2=0  因数分解する。
 (x+1)(3x−2)=0
 x=−1、2/3
 x=−1: y=x−2=−3
 x=2/3: y=x−2=−4/3
(答) (−1,−3) (2/3,−4/3)

2. (1)
 y=10/x
 y=2x−1 から、
 10/x=2x−1  x をかける。
 2x−x−10=0  因数分解する。
 (x+2)(2x−5)=0
 x=−2,5/2
 x=−2: y=2x+1=−3
 x=5/2: y=2x+1=6
(答) (−2,−3) (5/2,6)
(2)
 三平方の定理から、
 (線分の長さ)
=(2+5/2)+(3+6)
=(9/2)+9
=9×5/4
 (線分の長さ)
(9×5/4)=95/2 ・・・(答) 

3. (1)
 y=x/4
 y=x+3  から、
 x/4=x+3
 x−4x−12=0  因数分解する。
 (x+2)(x−6)=0
 x=−2,6
 x=−2: y=x+3=1
 x=6:   y=x+3=9
(答) (−2,1) (6,9)
(2)
 求める三角形の面積は、
 底辺が(2+6)=8、高さが3 の三角形の面積に等しい。なぜなら、y切片と原点を底辺として左右の三角形を、等積変形できる。
 よって面積は、8×3/2=12 ・・・(答)
  因数分解_練習グラフ3
4. (1)
 円Aの半径を a とする。
 Aの座標は、(a,a)
 Aは放物線 y=x/2 上にあるので、
 a=a/2
 a−2a=0
 a(a−2)=0
 a>0 から、a=2
 Aの座標は、(2,2) ・・・(答)
(2)
 円Bの半径を b とする。
 Bの x 座標は、b
 Bの y 座標は、2a+b=4+b
 Bは放物線 y=x/2 上にあるので、
 4+b=b/2
 b−2b−8=0  因数分解する。
 (b+2)(b−4)=0
 b>0 から、b=4 ・・・(答)

5. (1)
 y=x−6x+8
 x=0 から、y=8
(答) (0,8)
 
(2)
 y=x−6x+8
 y=0 から、
 x−6x+8=0  因数分解する。
 (x−2)(x−4)=0
 x=2,4
(答) (2,0) (4,0)
 
(3)
 中点の x 座標は、(2+4)/2=3
 y=(x−2)(x−4)=−1
 最小値の座標は、(3,−1) ・・・(答)
 
(4)
  因数分解_練習グラフ5

JUGEMテーマ:学問・学校

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