中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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規則性…三角のタイル

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 規則性の入試問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、三角形のタイルを並べます。
(1) n 番目のとき、最下段のタイルの枚数を求めてください。
(2) n 番目のとき、タイルの総数を求めてください。
  規則性4_三角のタイル例題
(1) 最下段のタイルの枚数をNとすると、
 n=1: N=1
 n=2: N=3
 n=3: N=5  奇数で増加しているので、
   :
 n=n: N=2n-1 (枚) ・・・(答)
(2) タイルの総数をSとすると、
 n=1: S=1
 n=2: S=1+3
 n=3: S=1+3+5
   :
 n=n: S=1+3+5+…+(2n-1)  逆に並べる。
      S=(2n−1)+…+5+3+1 2式をたす。
     2S=2n×n
      S=n (枚) ・・・(答)

練習
 下の図のように、白と黒ノタイルを並べていきます。
  規則性4_三角のタイル
(1) 下の表は、1番目、2番目、3番目、… の白と黒のタイルの枚数をまとめたものです。【 ア 】と【 イ 】にあてはまる数を求めてください。
白のタイル 10 【ア】
黒のタイル 【イ】
タイルの合計 16
(2) n 番目の黒いタイルの数を a 枚とするとき、a を n の式で表してください。
(埼玉県高)

答 え












答 え
(1) n 番目のタイルの合計は、n となっている。
 白のタイルの数をSとすると、
 n=1: S=1
 n=2: S=1+2
 n=3: S=1+2+3
   :
 n=n: S=1+2+3+…+n  逆に並べる。
      S=n+…+3+2+1  2式をたす。
     2S=(1+n)×n
      S=n(n+1)/2 ・・・
 n 番目の黒のタイルの数 a は、
  a=n−S
   =n−n(n+1)/2
   =(n−n)/2
   =n(n−1)/2 ・・・
 n=7 のとき、
 ,ら、S=7(7+1)/2=28 ・・・ 【 ア 】
 △ら、a=7(7−1)/2=21  ・・・ 【 イ 】

(2) △ら、a=n(n−1)/2 ・・・(答)

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