中学から数学だいすき!

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規則性…四角いタイル

規則性を見つける4 >

 正方形のタタイルを規則的に並べる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、黒と白のタイルを並べていきます。
  規則性4_四角いタイル例題
模様の番号(番目)
黒のタイル(枚) 【A】
白のタイル(枚)
−1 −2 【B】
(1) 上の表の【A】、【B】にあてはまる数を求めてください。
(2) 差が6のとき、何番目の模様か求めてください。また、そのときの黒のタイルの枚数を求めてください。
(埼玉県高)

(1)
 5番目の最下段は黒が5枚なので、
  A=1+3+5=9 ・・・(答)
 6番目の最下段は白が6枚なので、
 白の合計は、2+4+6=12
 黒の合計は、1+3+5=9
 白−黒は、12−9=3 B=3 ・・・(答)
(2)
 白−黒 が正になるのは、n が偶数の場合である。
 n=2: 差=1
 n=4: 差=1+1=2
 n=6: 差=1+1+1=3
   :
 n=n: 差=n/2=6 n=12 (番目) ・・・(答)
 n=12 のとき、黒は、
  1+3+5+7+9+11=12×3=36 (枚) ・・・(答)

練習
1. 下の図のように、青と白の紙を並べていきます。
  規則性4_四角いタイル例題
n 番目
青紙の枚数 【ア】
白紙の枚数 【イ】
紙の総枚数 10
(1) 上の表の【ア】、【イ】にあてはまる数を求めてください。
(2) 青紙の枚数がはじめて36枚になるのは何番目のときか、求めてください。
(3) 30番目のとき、紙の総枚数を求めてください。
(4) 紙の総枚数が1275枚のとき、白紙の枚数を求めてください。
(千葉県高)


2. 下の図のように、灰色と白色のタイルを並べていきます。
  規則性4_四角いタイル
(1) 5番目のとき、灰色と白色のタイルの個数をそれぞれ求めてください。
(2) 2k−1 番目(奇数番目)のとき、灰色と白色のタイルの個数を、k を用いてそれぞれ答えてください。k は自然数とします。
(3) 2k 番目(偶数番目)のとき、灰色と白色のタイルの個数を、k を用いてそれぞれ答えてください。k は自然数とします。
(4) 灰色のタイルを221個使うのは何番目か、求めてください。
(新潟県高)

答 え












答 え
1.
(1) n=5 のとき、青紙の数は、
  1+3+5=9 ・・・【ア】
 n=6 のとき白紙の数は、
  2+4+6=12 ・・・【イ】
(2) n 番目のとき、青の枚数は、
 n=3 1+3=4
 n=5: 1+3+5=9
 n=7: 1+3+5+7=16
 n=9: 1+3+5+7+9=25
 n=11: 1+3+5+7+9+11=36
(答) 11番目
(3) 紙の総枚数をSとすると、
 S=1+2+3+…+30
 S=30+29+…+2+1
2S=31×30
 S=31×15=465 (枚) ・・・(答)
(4) S=1+2+3+…+n とする。
    S=n+…+3+2+1
   2S=(1+n)×n
    S=n(n+1)/2 ・・・
 S=1275 から、
 n(n+1)/2=1275
 n(n+1)=2550
 50=2500<n(n+1)<55=3025
 50×51=2550 から、n=50
n=50 のとき、白紙の枚数は、
 2+4+6+…+48+50
=2(1+2+3+…+25)  ,ら、
=25(25+1)=650 (枚) ・・・(答)

2.
(1) それぞれの個数を表にする。
 規則性4_四角いタイル解答
n 番目
灰色の個数 13
白色の個数 12
合計 16 25
(答) 灰色13個、白色 12個

(2) n=2k−1 のとき、総数は (2k−1)
 灰色は、{(2k−1)+1}/2
     =(4k−4k+2)/2
     =2k−2k+1 (個) ・・・(答)
 白色は、灰色−1=2k−2k (個) ・・・(答)

(3) n=2k のとき、総数は、(2k)=4k
 灰色と白色は同数となり、
  4k/2=2k (個) ・・・(答)

((4) 灰色が221個のとき、白色は220個
 総数は、221+220=441
 n=441=21
 n >0 から、n=21 (番目) ・・・(答)

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