中学から数学だいすき!

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規則性…2次元の表

規則性を見つける4 >

 行と列からなる2次元の表について、規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 下の表のように、ある規則に従って、連続する自然数を1から100まで並べます。例えば、3行目で2列目の数は6です。6行目で9列目の数を求めてください。
m\n 1列目 2列目 3列目 4列目
1行目 16
2行目 15
3行目 14
4行目 10 11 12 13

(考え方)
 1行目の横に並ぶ数の規則性を見つけ、 n の式で表す。
 2 行目、3行目…の式から、m 行目の式を求める。
 m=6、n=9 を式に代入する。
(解答)
 m 行目で n 列目の数を (m,n) で表す。
 1行目の数は、列の数の2乗になっているので、
 (1,n)=n  2行目は1少ないので、
 (2,n)=n−1 3行目はさらに1少ないので、
 (3,n)=n−2
   :
 (m,n)=n−(m−1)=n−m+1
 (6,9)=9−6+1=76 ・・・(答)

練習
 下の表のように、連続する自然数を1から順に規則的に書いていきます。例えば、3行目のの2列目には8が書かれています。
規則性4_2次元の表
(1) 36が書かれているのは、何行目の何列目ですか。
(2) n 行目の n 列目に書かれている数を n を用いて表してください。
(3) 87行目の93列目に書かれている数を求めてください。
(京都府高)

答 え












答 え
2.
(1) 矢印に沿って、下、左、右、上と数を書くと、
 36は、1行目、6列目 ・・・(答)
1列目 2列目 3列目 4列目 5列目 6列目
1行目 16 17 36
2行目 15 18 35
3行目 14 19 34
4行目 10 11 12 13 20 33
5行目 25 24 23 22 21 32
6行目 26 27 28 29 30 31

(2) m 行目で n 列目の数をSとする。
 m=1 のとき、
  n が偶数: S=n
  n が奇数: S=(n−1)+1
 m=2 のとき、
  n が偶数: S=n−1
  n が奇数: S=(n−1)+1+1=(n−1)+2
 m=3 のとき、
  n が偶数: S=n−1−1=n−2
  n が奇数: S=(n−1)+1+1+1=(n−1)+3
   :
 m=n のとき、
  n が偶数: S=n−(m−1)
           =n−m+1  m=n から、
           =n−n+1
  n が奇数: S=(n−1)+m
           =n−2n+1+m  m=n から、
           =n−n+1
  n 行目で n 列目は、n が偶数でも奇数でも、
   S=n−n+1 ・・・(答)
 
(別解) 機械的に解く
 n 行目で n 列目の数をSとして、Sと n の関係を表にする。
13 21 2次関数
Sの差1 1次関数
Sの差2 一定
 Sの差から、Sは2次関数に従う。
 S=an+bn+c とする。
 (n,S)=(1,1),(2,3),(3,7) から、
  1=  a+ b+c  ・・・
  3= 4a+2b+c  ・・・
  7= 9a+3b+c  ・・・
 ◆櫚 А。押瓧械瓠棕癲 ΑΑΝ
 −◆А。粥瓧毅瓠棕癲 ΑΑΝ
 ァ櫚ぁА。押瓧横瓠 。瓠瓧
 ぁА。癲瓧押檻械瓠瓠檻
  А。磧瓧院檗複瓠棕癲法瓧
よって、S=n−n+1 ・・・(答)

(3) (2)から、
 n が偶数のとき、S=n−(m−1)
 n が奇数のとき、S=(n−1)+m
 m=87 (行目)、n=93 (列目) なので、
  S=(n−1)+m
    =92+87=8551 ・・・(答)

(別解) m 行 n 列のSの式を求めていない場合
 1行目で、n が偶数のとき、S=n
 偶数の右隣りは、S=n+1
  93列目は奇数なので、
  1行目で93列目は、92+1=8465
 列に書かれる数は、1行目から下に1ずつ増加するので、
  87行目で93列目は、8465+86=8551 ・・・(答)

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