中学から数学だいすき!

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規則性…積み木

規則性を見つける4 >

 積み木の規則性の問題を解いてみましょう。

例題
 同じ大きさの立方体の積み木があります。下の図のように、1番目は1個、2番目は4個、3番目は…と、規則的に積み木を置いていきます。
規則性4_積木練習
(1) 5段を作るときに必要な積み木の個数を求めてください。
(2) n 段を作るときに必要な積み木の個数を n を使った式で表してください。
(3) 積み木が全部で2018個あるとき、最大【 ア 】段まで積み上げることができ、、【 イ 】個あまる。【 ア 】【 イ 】にあてはまる数を求めてください。
(沖縄県高 図変更)

(1)
 n 段(= n 回目)の積み木の総数をSとする。
 n=1: S=1
 n=2: S=1+3=4
 n=3: S=1+3+5=9
 n−4: S=1+3+5+7=16
 n=5: S=1+3+5+7+9=25 (個) ・・・(答)
(2)
 S=n (個) ・・・(答)
(3)
 44=1936<2018<45=2025  〇5 の暗算
 n=1936
 n>0 から、n=44  ・・・【 ア 】
 2018−1936=82 ・・・【 イ 】

練習
 下の図のように、1辺が1cmの立方体の積み木を規則正しく積み重ねて、互いに接着させ、1番目、2番目、3番目、4番目、…と、底面が正方形の立体を作っていきます。
規則性4_積木ピラミッド
(1) 5番目の立体の体積を求めてください
(2) n 番目の立体の表面積を n を使って表してください。
(大分県高 図変更)

答 え












答 え
(1) 立方体の個数をVとする。
 1個の立方体の体積は1cm から、
 立体の体積=1×V=V (cm
 n=1: V=1
 n=2: V=1+4=5
 n=3: V=1+4+9=14
 n=4: V=1+4+9+16=30
 n=5: V=1+4+9+16+25=55 (cm) ・・・(答)

(2) 表面積を、側面、上面、底面の和で求める。
 側面: 4(1+2+3+4+…+n) ・・・
 上面: 1+(2−1)+(3−2)+(4−3
       +…+{n−(n−1)
       =1+3+5+7+…+(2n−1) ・・・
 底面: n  ・・・
  瓧粥複院棕押棕魁棕粥棔帖棕遏法ゝ佞吠造戮襦
  瓧粥複遏棔帖棕粥棕魁棕押棕院法。下阿鬚燭后
2 瓧粥複遏棕院烹
  瓧横遏複遏棕院
 ◆瓧院棕魁棕機棕掘棔帖棔複横遏檻院法ゝ佞吠造戮襦
 ◆瓠複横遏檻院法棔帖棕掘棕機棕魁棕院法。下阿鬚燭后
2◆瓧横遏滷
 ◆瓧
  椨◆椨=2n(n+1)+n+n
         =4n+2n
         =2n(2n+1) (cm) ・・・(答)

(参考) 立方体の総数
 n 番目の立方体の総数をSとすると、
 S=1+2+3+・・・+n を表から求める。
番目
総数 14 30 55 3次関数
Sの差1 16 25 2次関数
Sの差2 11 1次関数
Sの差3 一定
 Sの差から、Sは3次関数に従う。
 S=an+bn+cn+d とする。
 (n,S)=(0,0)、(1,1)、(2,5)、(3,14) から、
  0=d
  1=a+b+c     ・・・
  5=8a+4b+2c  ・・・
 14=27a+9b+3c ・・・
 ◆檻× А。魁瓧僑瓠棕横癲   ΑΑΝ
 −3× А。隠院瓧横苅瓠棕僑癲 ΑΑΝ
 ァ檻×ぁА。押瓧僑瓠 a=1/3
 ぁА。横癲瓧魁檻僑瓠瓧院 b=1/2
  Аc=1−(a+b)=1−5/6=1/6
 a=1/3  b=1/2  c=1/6  d=0 から、
  S=n/3+n/2+n/6
   =(n/6)(2n+3n+1)
   =n(n+1)(2n+1)/6
 S=1+2+3+・・・+n
  =n(n+1)(2n+1)/6 ・・・(答)

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