中学から数学だいすき!

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規則性…碁石

規則性を見つける4 >

 碁石を規則敵に並べる問題を解いてみましょう。

例題
 下の図のように、碁石を左から右に規則的に並べていきます。
  ●○○●○○●○○●○○…
(1) 黒い碁石が1個、2個、3個、… x 個のとき、黒い碁石はそれぞれ1番目、4番目、7番目、… y 番目となります。 y を x で表してください。
(2) 26番目の碁石は何色ですか。
(3) 碁石を40個並べると、白い碁石は合わせて何個になりますか。

(解答)
(1) 黒の数と、黒が何番目かを表にまとめる。
黒の数
y 番目 10 13 1次関数
隣りとの差 一定
 y の隣りの項との差は3で一定なので、
 (x,y)のグラフは1次関数に従う。
 傾きは、3/1=3
 x=0 のとき、y 切片は y=1−3=−2 から、
 y=3x−2 ・・・(答)
(2) y=3x−2=26 とすると、x=28/3=9.3…
 26番目が黒なら割切れる。
 しかし、割切れないので白 ・・・(答)
(3) y=3x−2=40 とすると、
 x=42/3=14  黒は14個なので、
 白は、40−14=26 (個) ・・・(答)

練習
 白い碁石と黒い碁石がたくさんあります。これらの碁石を下の図のように、白、黒、黒、白、黒、黒、…と、白1個、黒2個の順で、1段目には1個、2段目には2個、3段目7には3個…と規則正しく置いていきます。
1列目 2列目 3列目 4列目 5列目 6列目
1段目 16 17 36
2段目 15 18 35
3段目 14 19 34
4段目 20 33
5段目 32
6段目
(1) 8段目に置かれている碁石のうち、白い碁石は全部で何個ですか。
(2) 1段目から15段目までに置かれている碁石のうち、3列目に置かれている碁石は全部で何個ですか。
(3) n 段目から (n+2)段目までに置かれている碁石の個数は、白と黒を合わせると全部で【 ア 】個で、そのうち白い碁石は【 ア 】個です。ア、イに当てはまる数を n を使って表してください。
(4) x 段目に置かれている碁石のうち、白い碁石の個数が全部で20個となるときの、x の値を全て求めてください。ください。
(愛媛県高)

答 え












答 え
(1)
 7段目は、○●●○●●○
 8段目は、●●○●●○●● から、
 白は2個 ・・・(答)
(2)
 |別椶ら段目の3列目の縦の並びを横に書く。
 ´↓きキΝЛ┃
 空空●●○●●○●●○●●○●
 から、
 白は、4個 ・・・(答)
(3)
【 ア 』 n+(n+1)+(n+2)=3n+3 ・・・(答)
【 イ 】
 n 段を含む3段の、白の個数を表にまとめる。
段を
含む3段
+1
 表から白は、n+1 ・・・(答)
(4)
 x 段目の白と黒の個数を表にまとめる。
段目 10
黒は222、444、666 と繰り返している。
 x=2、3、4  のとき、黒=2=2×1
 x=5、6、7  のとき、黒=4=2×2
 x=8、9、10 のとき、黒=6=2×3
   :
 n=1,2,3,… とすると、
 x=3n−1、3n、3n+1 のとき、黒=2n
 白=x−2n=20 から、
 (3n−1)−2n=20 n=21 x=3n−1=62
 (3n)−2n=20    n=20 x=3n=60
 (3n+1)−2n=20 n=19 x=3n+1=58
(答) x=58、60、62

(参考) 2,5,8,11,… の n 番目の式 y
 隣りの項との差は3で一定なので、y は1次関数に従う。
 傾きは、3/1=3
 n=0 のとき、2−3=−1 から、
 y=3n−1 と表すことができる。

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