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規則性…魔方陣2

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 3×3の魔方陣の規則性を導き、問題を解いてみましょう。魔方陣は、縦・横・斜めのそれぞれの和がすべて等しいものをいいます。

規則性1: 9個の数を使う魔方陣
 魔方陣の定義から、縦・横・斜めのそれぞれの和を n とする。
 横の和から、
  a+b+c=n
  d+e+f=n
  g+h+i=n
 3式の和から、
  a+b+c+d+e+f+g+h+i=3n ・・・
 eを使う斜め・縦・横のそれぞれの和から、
  a+e+i=n
  b+e+h=n
  c+e+g=n
  d+e+f=n
 4式の和から、
  a+b+c+d+4e+f+g+h+i=4n
 ,ら、3n+3e=4n
 よって、n=3e
 中央の数=e から、
 残りの2数の和は、3e−e=2e
 つまり、次の規則性がある。
(9個の数の魔方陣)
 3つの数の和=3e
 中央の数=e
 残りの2数の和=2e

規則性2: 連続する9個の数を使う魔方陣
 連続する9個の数は、中央の数を e とすると、
  e−4、e−3、e−2、e−1、e、e+1、e+2、e+3、e+4
 (小さい数,大きい数)の組を作ると、
  (−4,+4)、(−3,+3)、(−2,+2)、(−1,+1)、
 この組で下図の魔方陣が成立する。
 縦・横・斜めの和は、すべて 3e となっている。
 また、e を除いた残り2数の和は、すべて2e となっている。
+1 −4 +3
+2 −2
−3 +4 −1
 以上から、次の規則性がある。
(連続する9個の数の魔方陣)
 外枠の2数の組は、
 (−4,+4)、(−3,+3)、(−2,+2)、(−1,+1)
 3つの数の和=3e
 中央の数 e=(最小値+最大値)/2 ← e が計算できる。
 残りの2数の和==2e

規則性3: 魔方陣の計算
 たし算・ひき算: 各数に同じ数をたす(ひく)。
6+2 1+2 8+2
7+2 5+2 3+2
2+2 9+2 4+2
10
11
 かけ算・わり算: 各数に同じ数をかける(わる)。
6×2 1×2 8×2
7×2 5×2 3×2
2×2 9×2 4×2
12 16
14 10
18

例題1
 1から9の異なる数を使って、
(1) 3×3の魔方陣を1つ作ってください。
(2) 魔方陣は何通りできますか。数字の位置が異なれば、別の魔方陣とします。

(1) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 から、(大きい数,小さい数)の組を作ると、 (1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、5
  中央の数=(1+9)/2=5
  外枠の組の和=1+9=10
 中央の5を含む縦・横・斜めの4組は分かっているが、4辺に相当する外枠の数の位置は求まっていない。
 1の場所を図1と図2として、(x,y,z) を求める。
図1 図2
10−z
10−y
10−x
10−z
10−y
10−x
 図1において、
 x+y+z=15 ・・・
 x+1+(10−z)=15 から、x=z+4 ・・・
 (1,9)は使われているので、1<z<9  4をたすと、
 5<z+4=x<13  1<x<9 から、
 5<x<9  x=6,7,8
 ↓,ら、
 x=6: z=x−4=2 y=15−(x+z)=7
 x=7: z=3 y=5  5は使われているので不適
 x=8: z=4 y=3
 よって、(x,y,z)=(6,7,2)、(8,3,4) となり、
 次の魔方陣となる。
 図2において、
 1+x+(10−z)=15 から、x−z=4 ・・・
 1+y+z=15 から、y+z=14 ・・・
  椨:: x+y=18 ・・・
 ところが、9は使われているので、x+y<18
 は不適なので、図2は成立しない。

(2) 上に並ぶ3つの数(6,1,8)で、
 6と8を交換すると2通り、
 1の場所は、右、下、左もあるので、4通り
 2×4=8 (通り) ・・・(答)

規則性3: 魔方陣の計算
 たし算・ひき算: 各数に同じ数をたす(ひく)。
6+2 1+2 8+2
7+2 5+2 3+2
2+2 9+2 4+2
10
11
 かけ算・わり算: 各数に同じ数をかける(わる)。
6×2 1×2 8×2
7×2 5×2 3×2
2×2 9×2 4×2
12 16
14 10
18

例題2
 2〜18の偶数を1つずつ使い、3×3の魔方陣を作ります。中央の数を求めてください。

 2、4、6、8、10、12、14、16、18 の9個の数から、
 (小さい数,大きい数)の組を作ると、
 (2,18)、(4,16)、(6,14)、(8,12)、10
 よって、中央の値は10 ・・・(答)
12 16
14 10
18

練習
1. 次のような1〜9を使った魔方陣をもとに、3〜19の奇数の数字を1つずつ使った魔方陣を1つ作ってください。

(参考)
 覚え方
 和(なご)み
 福(ふく)呼(よ)ぶ

2. 1、3、4、5、6、7、8、9、10、11 の数を1つずつ使って魔方陣を作ります。中央の数と、縦・横・斜めの3つの数の合計を求めてください。

3. 26〜34の整数を1つずつ使って、下の魔方陣を完成させてください。26、30、32はすでに使われています。
32 30
26
(函館ラ・サール高)

答 え












答 え
1.
 3から始まる奇数なので、もとの魔方陣を2倍して1をたす。
(答)
6×2+1 1×2+1 8×2+1
7×2+1 5×2+1 3×2+1
2×2+1 9×2+1 4×2+1
13 17
15 11
19

2.
 1、3、4、5、6、7、8、9、11 から、(小さい数,大きい数)の組を作る。
 (1,11)、(3,9)、(4,8)、(5,7)、6
 中央の数は、6、合計は、1+11+6=18 ・・・(答)
11

3.
 26〜34の数から、(小さい数,大きい数)の組を作る。
 (26,34)、(27,33)、(28,32)、(29,31)、30
 3つの数の合計は、26+30+34=90
 B=34、F=28
 A+34+C=90  A+C=56  ・・・
 C+28+=90 C+=62 ・・・
 A+30+=90 A+=60  ・・・
−◆А。繊檻叩瓠檻押 牒
 椨ぁА。横繊瓧毅粥 。繊瓧横
ぁА。叩瓧繊棕押瓧横
 (A,)=(27,33) から、=33
 (C,G)=(29,31) から、G=31
(答)
27 34 29
32 30 28
31 26 33
(別解)
 和み福呼ぶから、1〜9の魔方陣を書く。
 26=1+25なので、各数に25をたす。
 A、B、C、F、G、が求まる。
6+25 1+25 8+25
+25 +25 +25
+25 +25 +25
G 31 26 I 33
32 30 F 28
A 27 B 34 C 29

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