中学から数学だいすき!

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規則性…まとめ5

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規則性…魔方陣
 下の図において、A〜はすべて異なる整数から成り、縦、横、斜めの3つの数の和はすべて同じ数です。このようなものを魔方陣といいます。次の(1)〜(3)の問いに答えてください。
(1) 生徒のサトシ君は魔方陣についてあることに気づき、先生に正しいかどうかを聞いてみることにしました。次の会話文中の【 ア 】〜【 ウ 】に適切な数を入れてください。
生徒 先生、Eに人る数って、縦,横,斜めそれぞれの3つの数の和の【 ア 】倍だと思う のですが…。
先生 よし、一緒に調べてみよう。
まず,縦,横,斜めそれぞれの3つの数の和をNとしよう。
すると、魔方陣のルールからEを含む次の 4つの式が成り立ちますね。
  A+E+=N
  C+E+G=N
  D+E+F=N
  B+E+H=N
何か気づきませんか?
生徒 わかりました。この4つの式から
 N×【 イ 】+E×【 ウ 】=N×4 が成り立ちます。
先生 そうですね。すなわち,E×【 ウ 】=N
が成り立ちますから,E=N×【 ア 】 が成り立ちますね。

(2) 26〜34の整数を1つずつ使って、下の魔方陣を完成させてください。26、30、32はすでに使われています。
32 30
26
(3) 縦、横、斜めの3つの数の和が2018になるような魔方陣は存在しますか。「存在する・存在しない」のどちらかで答え、その理由を3行以内で説明してください。

答 え












答 え
(1)
 A+E+=N
 C+E+G=N
 D+E+F=N
 B+E+H=N
4つの式をたす。
 (A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+)+3E=4N
 3N+3E=4N
 3E=N  E=N/3
(答) 【 ア 】 1/3  【 イ 】 3 【 ウ 】 3
(2)
 (1)から、E=N/3=30
 N=90
 B=90−(30+26)=34
 F=90−(32+30)=28
 4隅の数を求める。
  A+C=90−B=56   ・・・
  G+=90−26=64 ・・・
 27、29、31、33 が未使用である。
 ,ら、27+29=56
  31+33=64 から、
 A=27 とすると、
  C=29
  =90−(27+30)=33
  G=90−(27+32)=31
 G、は△鯔たす。
(答)
27 34 29
32 30 28
31 26 33

(別解1)
 26〜34の数から、(小さい数,大きい数)の組を作る。
 (26,34)、(27,33)、(28,32)、(29,31)、30 から、
 B=34、F=28
 3つの数の合計は、30×3=90
 A+34+C=90  A+ C=56  ・・・
 C+28+=90 C+=62  ・・・
 A+30+=90 A+=60  ・・・
 I を消去する。
−◆А。繊檻叩瓠檻押 牒
 椨ぁА。横繊瓧毅粥 。繊瓧横
ぁА。叩瓧繊棕押瓧横
 (A,)=(27,33) から、=33
 (C,G)=(29,31) から、G=31
(答)
27 34 29
32 30 28
31 26 33
(別解2)
 1〜9の魔方陣を和み福呼ぶから書く。
 26=1+25なので、各数に25をたす。
 A、B、C、F、G、が求まる。
6+25 1+25 8+25
+25 +25 +25
+25 +25 +25
G 31 26 I 33
32 30 F 28
A 27 B 34 C 29

(3)
 存在しない。
 なぜならば、E=N/3=2018/3=672.6… から、
 Eは整数ではないので。

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