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公立高校入試2019 図形

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 公立高校入試の図形の問題を解いてみましょう。角度と面積比を求めます。

問題
3. 次の問いに答えてください。
 下の図において、3点A、B、C は円O の周上の点で、AB=AC です。
 また、点Dは線分BO の延長と線分AC との交 点です。
  このとき、∠BDC の大きさを求めてください。
 高校入試2019_角度

 下の図のように、三角形ABC があり、辺ABの中点をDとします。
  また、 辺AC を3等分した点のうち,点Aに近 い点をE,点C に近い点をFとします。
 さらに,線分C Dと線分BEとの交点をG.、線分C D と線分BFとの交点をHとします。
 三角形BGDの面積をS、四角形EGHFの面積 をTとするとき,Sと'Tの比を最も簡単な整数の比で表してください。
 高校入試2019_面積比

答 え










答 え
3.

  高校入試2019_角度解答
 △OBC は半径が等しい二等辺三角形から、
  ∠OC B=46
  ∠BOC =180−46×2=88
 円周角の定理から、
  ∠A=88/2=44
 △ABC は二等辺三角形から、
  ∠C=(180−44)/2=68
 △DOC において、
  ∠DC O=68−46=22
  外角は、隣り合わない内角の和 から、
   88=∠BDC +22
   よって、∠BDC =88−22=66(°) ・・・(答)


(考え方) 詳細は、三角形の面積 規則集1 を参照ください。
 平行線と面積の定理 … 高さが等しい2つの三角形の面積比は、底辺の比に等しい。
 中点連結定理 … 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、底辺に平行で、底辺の1/2 になる。
 平行線と比の定理 … 相似比による。
 高校入試2019_面積比解答
 中点連結定理、相似比を使うため、点線の補助線を2本引く。
 △ABC で、中点連結定理から、DE//HF
  △ADC で、 Л△糧罎砲覆襦
  BH=◆滷押櫚 甅
 △DBHで、平行線と面積の定理から、
  △GBH=S×3/2=3S/2
 △EBFで、平行線と面積の定理から、
  △EHF=(3S/2+S)/3=5S/6
 S:T=S:(S+5S/6)
    =1:11/6
    =6:11 ・・・(答)


参考文献
読売新聞 2019年2月15日朝刊 「公立高校入試・神奈川 数学」

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