中学から数学だいすき!

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円と三角形…面積

円と三角形 >

 円の半径を計算し、円の面積を求めてみましょう。

 はじめに、直角三角形の辺の比を確認してください。直角二等辺三角形の辺の比は、2:1:1 です。また、60°と30°を内角にもつ直角三角形の辺の比は、2:1:3 です。それぞれ、三平方の定理が成り立っています。
  1+1
  1=2 

   三平方の定理応用1

例題
 下の図で、直線ABと直線ACは円Oの接線です。AB=2cm、AC=3cm のとき、円Oの面積を求めてください。
(愛知県高)
   円と三角形_面積例題

 円の半径を x cm とする。
 線分ABとADは円の接線なので、
  △ABC は直角三角形で、AB=AD=2
  DC =3−2=1
 △ABC で、三平方の定理から、
  BC=(3−22)5 ・・・
 △DOC で、三平方の定理と,ら、
  x+1=(5−x)
  1=5−25x
  25x=4
  x=2/
 よって円の面積は、4π/5 (cm) ・・・(答)
   円と三角形_面積例題解答

練習
1. 図1で、AB=5cm、∠AC B=60°のとき、円Oの面積を求めてください。
(東京電機大高)
  i円と三角形_面積練習

2. 図2のように、直角三角形ABC があり、∠B=90°、∠C=60°、BC =4 のとき、色の部分の面積の和を求めてください。
(明治大付属明治高)
答 え










答 え
1. 
 下の図1で、円の半径を x cm とする。
 円周角の定理から、
  中心角 ∠AOB=120°
 △BOHの内角は、30°、60°、90°から、
  x:5/2=2:
  x=5/
 よって円の面積は、25π/3 (cm) ・・・(答)

  i円と三角形_面積練習解答
2.
 円の半径を x とする。
 △ABC の辺の比から、
  2x:4=3:1
  x=2
  畧襍腺庁腺蓮蘗ぃ庁腺
   =π×(120/360)−(3x)×(x/2)/2
   =4π3x/4
   =4π−3
 ◆瓣ぃ達腺臓檗吻+△DAB)
   =2x×4/2−(扇形DOB−△DOB+△DAB)
   =4x−{π×(60/360)−(x×3x/2)/2+x×3x/2}
   =4x−(π/6−3x/4+3x/2)
   =83−(2π3x/4)
   =8√3−(2π+33)
   =53−2π
  椨◆瓧π−33+53−2π
      =2π+23 ・・・(答)

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