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円と三角形…合同

円と三角形 >

 円にかかわる三角形の合同を証明してみましょう。

 2つの図形ががぴったりと重なることを合同(ごうどう)といい、記号で「≡」と表します。合同のとき、対応する辺や角が等しくなります。

三角形の合同条件
 次のどれかが成り立つと2つの三角形は合同です。なお、対応する辺や角を「組」で表しています。
1) 3組の辺がそれぞれ等しい。
2) 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
3) 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 三角形の合同条件

 三角形の合同条件は、三角形の大きさと形が決まる条件になっています。「3辺」の長さが決まると、三角形が描けます。「2辺と間の角」が決まると、三角形が描けます。「1辺と両端の角」も同様です。

直角三角形の合同条件
1) 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
2) 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい 。

   直角三角形の合同条件

1)の理由: 三平方の定理から、残りの辺が求まり、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同。
2)の理由: 内角の和が180°から、残りの角が求まり、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同。

例題
 下の図で、線分APと線分AQは、円Oの接線です。このとき、AP=AQ を証明するため、枠内を書いてください。
(秋田県高)
   i円と三角形_合同例題

 証明
 △POと△AQOにおいて、
@@@@@@@@@@@@@@@@@@
 合同な図形の対応する辺は等しいから、
  AP=AQ

(解答)
 仮定から、APとAQは接線なので、
  ∠APO=∠AQO=90°・・・
 半径なので、PO=QO   ・・・
 斜辺 AOは共通       ・・・
 ´↓から、
 直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
  △APO≡△AQO

練習
1. 図1で、AB=DC のとき、△AEB≡△DEC を証明してください。
(山梨県高)
 i円と三角形_合同練習

2. 図2で、△ABC は正方形です。BE=C Dのとき、△ABE≡△AC D を証明してください。
(富山県高)
答 え










答 え
1.
 △AEBと△DEC において、
 仮定から、AB=DC ・・・
 弧ADに対する円周角は等しいので、
  ∠ABE=∠DCE  ・・・
 弧BC に対する円周角は等しいので、
  ∠BAE=∠C DE  ・・・
 ´↓から、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
  △AEB≡△DEC

 i円と三角形_合同練習
2.
 △ABEと△AC D において、
 仮定から、△ABC は正三角形なので、
  AB=AC       ・・・
 仮定から、BE=C D ・・・
 弧ADに対する円周角は等しいので、
  ∠ABE=∠AC D  ・・・
 ´↓から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
  △ABE≡△AC D

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