中学から数学だいすき!

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円と三角形…相似

円と三角形 >

 円にかかわる三角形の相似を証明してみましょう。

 一方の図形を同じ割合で拡大または縮小し、他方の図形とぴったりと重なる関係を相似(そうじ)といい、記号で「∽」と表します。

三角形の相似条件
1) 3組の辺の比すべて等しい。
2) 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
3) 2組の角がそれぞれ等しい。
 三角形の相似条件

 3つの相似条件のうち、どれかが成り立てば相似です。「組」は、対応する辺や角を表します。
  3辺比の相似条件

例題
 下の図のように、半径5cm の円O があり、線分ABは円O の直径です。AC :C B=3:2 です。
(1) △AC D∽△EC B を証明してください。
(2) AB⊥DE のとき、線分ADの長さを求めてください。
(茨木県高)
   円と三角形_相似例題

(1) △AC Dと△EC Bにおいて、
 弧AEに対する円周角は等しいので、
  ∠ADC=∠EBC ・・・
 対頂角は等しいので、
  ∠AC D=∠EC B ・・・
 2組の角がそれぞれ等しいので、
  △AC D∽△EC B
(2) 下の図で、AB=10、AC :C B=3:2 から、
  AC =10×3/(3+2)=6
 △DOC で、三平方の定理から、
  DC =(5-1)=24
 △DAC で、三平方の定理から、
  x=(624)=60=215 (cm) ・・・(答)
   円と三角形_相似例題解答

練習
1. 図1で、AB=AC、AD//BE のとき、△ABF∽△GEB を証明してください。
(岩手県高)
 i円と三角形_相似練習

2. 図2で、△AC D は AC=AD の直角二等辺三角形です。線分DFは直径ABへの垂線です。
(1) △ABC ∽△DAF を証明してください。
(2) AB=10cm、BC =6cm、CA=8cm のとき、線分FEの長さを求めてください。
(高知県高)
答 え










答 え
1.
 △ABFと△GEB において、
 仮定の AB=AC から、二等辺三角形のr底角は等しいので、
  ∠ABC=∠AC B ・・・
 弧ABに対する円周角は等しいので、
  ∠AC B=∠AEB ・・・
 ´△ら、∠ABF=∠GEB ・・・
 仮定の AD//BE から、錯角は等しいので、
  ∠AFB=∠GBE ・・・
 いら、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △ABF∽△GEB

 i円と三角形_相似練習解答
2.
(1)
 △ABC と△DAF において、
 仮定から、直径に対する円周角は直角なので、
  ∠AC B=∠DFA=90° ・・・
 ,ら、AD//C B 錯角が等しいので、
  ∠ABC =∠DAF ・・・
 ´△ら、2組の角がそれぞれ等しいので、
  △ABC ∽△DAF

(2)
 △ABC ∽△DAF 、DA=ACから、
  AB:DA=BC:AF,
  10:8=6:AF
  AF=48/10=24/5 ・・・
 △DAE∽△CBE (二角相等)から、
  AD:BC =8:6=AE:(10−AE)
  4(10−AE)=3AE
  7AE=40  AE=40/7 ・・・
 ↓,ら、
  FE=AE−AF
    =40/7−24/5=(200−168)/35
    =32/35 (cm) ・・・(答)

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