中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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無理数−自然数の値

無理数の計算 >

 n は「ルートn」と読み、 を根号といいます。これから、n が自然数(=正の整数)になる問題を解いてみましょう。

規則
 根号内が2乗の数のとき、その数を根号の外に出せる。
 √(a2b)=ab
例:
 2=5
 50=(52×2)=52
 √(n+1)2=n+1

例題1
 2<a<3 を満たす自然数 a を小さい順にすべて書いてください。
(群馬県高)

 2<a<3 を2乗すると、
 4<a<9 aは自然数なので、
 5≦a≦8
 a=5,6,7,8 ・・・(答)

例題2
 (n2+55) が自然数となるような自然数 n の値を求めてください。
(福岡大付属大濠高)

 (n2+55) が自然数なので、
 n2+55=m2 (m>n) と書ける。
 m2-n2=55
 (m+n)(m-n)=55 m+n=a,m-n=b (a>b) とおく。
 ab=55=1×55=5×11 a,bは自然数なので、
 (a,b)=(11,5),(55,1) a,bを戻す。
  m+n=11 m-n=5 から、(m,n)=(8,3)
  m+n=55 m-n=1 から、(m,n)=(28,27)
(答) n=3,27

練習
1. n を自然数とするとき、4<n<10 を満たす n の値は何個あるか求めてください。
(茨城県高)

2. 45に最も近い自然数を求めてください。
(沖縄県高)
3. Nを自然数とします。N≦n<N+1 を満たす n の個数が31個あるとき、Nの値を求めてください。
(秋田県高)
4. (2019+n) が自然数となるような最小の自然数 n を求めてください。
(豊島岡女子学園高)
答 え










答 え
1.
 4<n<10 を2乗すると、
 16<n<100
 17≦n≦99 から、
 nの個数は、99-17+1=83 (個) ・・・(答)
2.
 36=62<452<49=72 から、
 6<45<7 45は、6か7に近い。
 6.52=42.25<45 から、
 6<6.5<45<7
 よって、45が最も近い数は7 ・・・(答)
3.
 N≦n<N+1 を2乗する。
 N2≦n<(N+1)2 …
 例えば、12≦n<22 を満たす n は、n=1,2,3
  n の個数は、22-12=3 (個)
 ,鯔たす n は31個なので、
 (N+1)2-N2=31
 2N+1=31
 N=15 ・・・(答)
4.
 452=2025  (参考)のように暗算できる。
 442=1936 から、
 442<2019<452
 最小の n は、2019+n=2025
 n=6 ・・・(答)

(参考) 2桁の5の倍数の2乗の暗算
 〇52=〇(〇+1)25
 152=225  252=625  352=1225
 452=2025 … 952=9025

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