中学から数学だいすき!

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無理数−分母の有理化

無理数の計算 >

 分母から根号をなくし有理数にすることを分母の有理化といいます。分母の有理化には2つの方法があります。

例1:分母と同じ数をかける。
 1/a  分子と分母にa をかける。
=a/(a)=a/a
例2:分母が2乗の差になる式をかける。
 1/(a+b)  分子と分母に (a-b) をかける。
=(a-b)/{(a+b)(a-b)}
=(a-b)/(a2-b2) ← 和と差の積=2乗の差
=(a-b)/(a-b)

(復習) 無理数と有理数
 無理数 (irrational number: 理性のない数)
  ・分数で表せない。
  ・循環しない小数が無限に続く(並びに理由がない)
  2=1.41421356…  √2 は無理数であることの証明
  3=1.73205080…
   π=3.14159265…
 有理数 (rational number: 理性のある数)
  ・無理数でない数。
   0,±1,±2,±3,…
   1/4=0.25
   4/33=0.121212… 循環する小数

例題 次の計算をしてください。
1. 10/5-√45 (埼玉県高)
2. 27+12/3 (滋賀県高)
3. 4/(5-3)
(解答)
1.  10/5-√45  第1項に5をかける。
=105/52-√45  根号内を最小化する。
=25-35
=-√5 ・・・(答)
2.  27+12/3  根号内を最小化する。
=33+12/3  第2項に3をかける。
=33+123/32
=33+43
=73 ・・・(答)
3.  4/(5-3)  分子と分母に(5+3)をかける。
=4(5+3)/{(5-3)(5+3)}
=4(5+3)/(52-32) 和と差の積=2乗の差
=4(5+3)/2
=2(5+3) ・・・(答)

練習
 次の計算をしてください。
1.  9/3+12     (富山県高)
2.  14/7+21 (茨木県高)
3.  27-20+5-7/7 (鹿児島高)
4.  (√3+2)/2-(√3+3√2)/(23)
(東工大附属科学技術高)
5.  √5/(5√2-2√5)-√2/(5√2+2√5)
(お茶の水女子大附属高)
答 え










答 え
1.  9/3+12  分母を有理化する。
=93/3+12  根号内を最小化する。
=33+23
=
53 ・・・(答)
2.
 14/7+21  分母を有理化する。
=27+(3×3×7)  根号内を最小化する。
=27+37
=57 ・・・(答)
3.  27-20+5-7/7 有理化、根号内最小化
=27-25+5-7  同類項をまとめる。
=7-5 ・・・(答)
4.  (√3+2)/2-(√3+3√2)/(23) 有理化する。
=2(√3+2)/2-3(√3+3√2)/6
=(6+2)/2-(3+36)/6 第2項を約分する。
=(6+2)/2-(1+6)/2
=1/2 ・・・(答)
5.  √5/(5√2-2√5)-√2/(5√2+2√5) 通分する。
={√5(5√2+2√5)-√2(5√2-2√5)}
 /{(5√2)2-(2√5)2}  ← 和と差の積=2乗の差
=(5√10+10-10+2√10)/30
=(7√10)/30 ・・・(答)

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